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Version vom 16. Juli 2009, 19:45 Uhr

Vorwort

Immer wieder muss ich feststellen, dass viele, die (mit OpenGl) 3D Anwendungen schreiben, nichts mit der Mathematik dahinter anfangen können. Um das Ein oder Andere zu verstehen oder sich selbst überlegen zu können, ist dieses Wissen aber unabdingbar. Ich möchte mit diesem Artikel helfen, diesen Zustand zu beenden und entsprechends Wissen unter euch verbreiten. Dies und das werded ihr aus der Schule kennen, wenn ihr also etwas überspringen wollt, orientiert euch an den Überschriften.

Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck

Man stelle sich vor, man hat einen Kreis, mit Radius 1. Der Mittelpunkt des Kreises befindet sich auf dem Koordinatensystem Ursprung. An der X-Achse ist ein Winkel ß angetragen:

An der x-Achse bildet sich dann ein rechter Winkel (wichtig für normale Trigonometrie). Die diesem Winkel gegenüberliegende Seite(r) nennt man Hypotenuse. Die am Winkel ß anliegende Seite(x) ist die Ankathete. Die dem Winkel gegenüberliegende Seite(y) heißt Gegenkathete. Man definiert folgende Funktionen:

sin(ß) = Gegenkathete / Hypotenuse
cos(ß) = Ankathete / Hypotenuse
tan(ß) = Gegenkathete / Ankathete

Im Einheitskreis(und nur dort) gilt:

sin(ß) = y
cos(ß) = x

da die Länge der Hypotenuse 1 ist(Kreisradius).

Die Umkehrfunktionen dazu sind (in Pascal):

ß = arcsin(sin(ß))
ß = arccos(cos(ß))
ß = arctan(tan(ß))

für ß im Bereich 0° - 90°. In den anderen Quadranten des Koordinatensystems, sind die Umkehrfunktionen nicht für alle Winkel eindeutig zurückzurechnen, hier muss man also ein wenig aufpassen, z.B. gibt arcsin(sin(ß)) im Bereich 90°-180° den Winkel 180° - ß aus. Im übrigen ist darauf zu achten, dass die FPU im Bogen- und nicht im Gradmaß rechnet. Umgerechnet werden kann wie folgt:

Für den Umgang mit Sinus und Cosinus gibt es noch ein paar spezielle Formeln, die einem Arbeit abnehmen können:

sin(-ß) = - sin(ß)
cos(-ß) = cos(ß)

sin(90° - ß) = cos (ß)
cos(90° - ß) = sin (ß)

sin²(ß) + cos²(ß) = 1

Bei Bedarf stehen weitere in jeder brauchbaren Formelsammlung, aber meist kommt man mit diesen aus.

Wozu das? Im Kapitel über Matrizen werden wir sehen, dass sich die drei genannten trigononmetrischen Funktionen dazu nutzen lassen, das Koordinatensystem zu drehen; außerdem kann man mithilfe der genannten Formeln sin(ß) = y und cos(ß) = x ganz einfach Kreise zeichnen. Wenn man sich dann überlegt, daß Kugeln im Prinzip nichts anderes sind, als Kreise, die über an der Z-Achse gezogen werden und der Radius dieser Kreise selbst einen Kreis beschreibt... Es gibt noch viele weitere Anwendungsmöglichkeiten, gerade der Umkehrfunktionen. So kann man mithilfe von Trigonometrie berechnen, um wieviel Grad ein Objekt weiter gedreht werden muss, um in eine bestimmte Richtung zu zielen. Dreiecke sind generell auch Verdächtige beim Einsatz von Trigonometrie.

Die Welt der Matrizen

Matrizen gelten als das Handwerkszeugs eines 3D Programmierers. Sie sind, wenn man sie einmal verstanden hat, ein mächtiges Hilfsmittel, das man irgendwann nicht mehr missen mag und kann! Vorher sollten wir aber noch einmal Vertieces in OpenGl (bei D3D läuft es im Prinzip genauso) betrachten und uns erst dann auf Matrizen stürzen.

Vertices und ihr Ursprung

Ein Vertex beschreibt einen Punkt im 3D Raum. Man könnte nun annehmen, dass ein Vertex durch 3 Koordinaten x,y,z beschrieben wird. Falsch gedacht, denn die meisten 3D APIs verwenden 4-Dimensionale Vertices(x/y/z/w)?!?

Ich denke, zu den 3 ersten Koordinaten muss ich nichts weiter sagen, zur w-Koordinate hingegen schon: w ist normalerweise immer 1.0. Mit glVertex4 kann bei Bedarf auch ein anderer Wert zugewiesen werden. Ist w ungleich Null, so wird ein Vertex als folgender 3-Dimensionaler Punkt interpretiert: (x/w, y/w, z/w). Im Normalfall sollte der Wert für w aber auf 1.0 belassen werden, es sei denn man hat eine interessante Idee, die sich mit einem w ungleich 1.0 besonders schön realisieren lässt. Wen die w-Koordinate interessiert, sollte in der OpenGl Spezifikation unter Coordinate Transformations nachschauen.

Ein Beispiel für die Effekt beim Einsatz von w Koordinaten: Beim ersten Dreieck ist im oberen Punkt w = 1.0, im 2. ist w = 0.5:

Einstieg in Matrizen

Beginnen wir am Anfang mit einer allgemeinen Definition einer Matrix:

Definition:Eine m x n Matrix ist eine Tabelle aus Werten mit n Spalten und m Zeilen.

Die in Direct3D und OpenGl Verwendung findenen Matrizen sind generell 4x4 Matrizen, mit Singles als Elemente:

Anwendung der Matrix auf einen Vektor

Hat man nun ein 3-Dimensionales Vertex (w=1.0) und möchte diesen durch die Matrix schicken, so rechnet man:

Bzw:

x_neu := x*a[1,1] + y*a[1,2] + z*a[1,3] + w*a[1,4]
          {Koeffizienten aus der ersten Zeile der Matrix}
y_neu := x*a[2,1] + y*a[2,2] + z*a[2,3] + w*a[2,4]
          {Koeffizienten aus der zweiten Zeile der Matrix}
z_neu := x*a[3,1] + y*a[3,2] + z*a[3,3] + w*a[3,4]
          {Koeffizienten aus der dritten Zeile der Matrix}
w_neu := x*a[4,1] + y*a[4,2] + z*a[4,3] + w*a[4,4]
          {Koeffizienten aus der letzten Zeile der Matrix}

Wer nun ein Wenig darüber nachdenkt, kommt auf ein Ergebnis:

Die Spalten sind die Bilder der Einheitsvektoren

Die Bedeutung dürfte noch nicht klar sein, aber das kommt bald.

Ist wie fast immer w=1, dann beschreibt die letzte Spalte der Matrix eine Verscheibung der Punkte, denn in der obigen Gleichung steht dann

x_neu := ... + a[1,4]
y_neu := ... + a[2,4]
z_neu := ... + a[3,4]
w_neu := ... + a[4,4]

Es wird dadurch gerade die letzte Spalte auf das Vertex aufaddiert. Für alle hier genannten Matrixoperatoren gilt außerdem, dass a[4,1] = a[4,2] = a[4,3] = 0 und a[4,4] und für w_neu entsprechend

w_neu = a[4,4] = 1.

Klar ist also, dass die w-Koordinate unverändert bleibt - nur Projektionsmatrizen halten sich nicht an diese Regel, aber da liegt genau deren Trick.

Die Identitätsmatrix, oder der Ursprung von glLoadIdentity

Eine der wichtigsten Matrizen ist die, die nichts macht. Also ein Vertex dorthin Projeziert, wo es sich bereits am Anfang befand:

Matrix * V = V

Schauen wir zurück, wie eine Matrix auf ein Vertex angewendet wird:

x_neu := x*a[1,1] + y*a[1,2] + z*a[1,3] + w*a[1,4]

Unser Ziel ist, dass x_neu gleich x ist. Das lässt sich immer erreichen, indem wir den Koeffizienten a[1,1] = 1.0 setzen und die restichen = 0. Dann steht da nämlich:

x_neu := x*1 + y*0 + z*0 + w*0 { = x }

Die gleiche Überlegung kann man auch für die Anderen 3 Elemente y,z und w machen. Jede dieser Überlegungen ergibt eine Zeile der Identitätsmatrix. Das Ergebnis:

Ausgehend von dieser Matrix kann man sich jetzt weitere Matrizen überlegen:

Welten verschieben

Überlebenswichtig in 3D Anwendungen dürften die Translationsmatrizen sein, die ein Vertex verschieben - aber das haben wir ja schon ein paar Zeilen weiter oben geklärt, wie man das durch w=1 und der letzten Spalte der Matrix antstellt.

Um den Ursprung drehen

Ein Porsche, den man vor zurück, links, rechts hoch und runterbewegen kann, ist schon was tolles. Deutlich mehr Klasse bekommt er, wenn man ihn auch noch aus verschiedenen Blickwinkeln anschauen und frei drehen kann. Den meisten dürfte damit schon klar sein, worauf ich hinaus will: Drehungen:

	Drehen um die Z-Achse Rotationen zusammenstöpseln geht einfach. Erinnern wir uns an den Satz: "Die Spalten sind die Bilder der Einheitsvektoren". Mit dieser Hilfe können wir uns jetzt selbst überlegen, wie eine Rotationsmatrix, die um die Z-Achse mit dem Winkel ß dreht, auszusehen hat. Gehen wir die Einheitsvektoren der Reihe nach ab: Der Z-Achsen Einheitsvektor(0.0, 0.0, 1.0) bleibt bei unserer Rotation unverändert - man nehme einen Finger, deute damit nach vorne. Nun drehe man diesen Finger um seine eigene Achse, wohin zeigt er? In die selbe Richtung, wie vor der Drehung? So sollte es zumindest sein, ansonsten habt ihr ein anatomisches Problem ;-) Es folgt die vorletze Spalte der Matrix (sie entspricht dem gerade bestimmten Vektor): (0.0, 0.0, 1.0, 0.0) Der X-Achsen Einheitsvektor(1.0, 0.0, 0.0) dreht sich hingegen mit. Trigonometrie findet der Lösung Spur. Ein Blick auf das Bild zum Einheitskreis zeigt, dass wir gerade das gleiche Problem zu bewältigem haben: Die Rotationsachse ist in beiden Fällen die Z-Achse. Der Einheitsvektor, der gedreht wird, ist die X-Achse: x := cos(ß) y := sin(ß) womit wir den Inhalt der ersten Spalte der Matrix kennen: (cos(ß); sin(ß); 0; 0) Das lässt sich jetzt genauso auf den Y-Achsen Einheitsvektor(0.0, 1.0, 0.0) übertragen, man muss nur bedenken in welcher weise sich x und y vertauschen: x = -sin(ß) y = cos(ß) So ergibt sich für die zweite Spalte: (-sin(ß); cos(ß); 0; 0) Und schließlich können wir eine Matrix für die Drehung um die Z-Achse mit dem Winkel ß beschreiben:
	Drehen um die X-Achse Wenn man nun auf die gleiche Weise an die weiteren Drehachsen herangeht, so wird man auf dieses Ergebnis kommen:
	Drehen um die Y-Achse

Matrixoperationen

Fürs Arbeiten mit Matrizen gibt es ein paar wichtige Operationen. Ohne diese macht das Arbeiten wenig Spass und würde einem auch wenig bringen.

Ich möchte hier keine genaue Erläuterung über die Funktionsweise dieser Operationen geben, aber erklären, was sie tun und was man damit anstellen kann. Wer diese Operationen verwenden möchte, sollte mal auf Mike Lischkes Homepage vorbeischaun. Dort findet ihr eine Geometry.pas, die diese Funktionen und noch viele mehr beinhaltet. Eine etwas verbesserte und immer wieder aktualisierte Variante liegt dem glScene Projekt bei. Mathematische Details findet ihr in unseren Wiki-Artikeln Matrix und Techniken_zur_Matrixinversion.

Matrixmultiplikation

Eine wichtige Operation ist die Matrixmultiplikation. Sie verbindet zwei Matrizen zu einer so, dass sie nacheinander ausgeführt werden. Dabei ist zu bedenken, dass die Reihenfolge einen Unterschied macht: erst drehen und dann verschieben ist ungleich erst verschieben und dann drehen, aber das solltet ihr bei der Verwendung von glRotate und glTranslate längst bemerkt haben.

Nun wie multipliziert man Matrizen miteinander? Wie wollen M mit M' multiplizieren. Die Spalten von M' kann man als Vektoren auffassen. Also wendet man einfach M auf die Spalten von M' und bekommt dabei 4 Vektoren. Diese setzt man wieder in einer neuen Matrix nebeneinander und schon hat man M mit M' multipliziert. Ausführlicher wie gesagt im Matrix Artikel.

Matrixinversion

Eine invertierte Matrix macht genau das Gegenteil der ursprünglichen Matrix. Verschiebt die ursprüngliche ein Vertex um 3 nach rechts, so schiebt die intervtierte Matrix ein Vertex um 3 nach links (Achtung: nicht alle Matrizen sind invertierbar, Rotations- und Translationsmatrizen lassen sich jedoch immer invertieren). Dies lässt sich sinnvoll bei Kameras einsetzen:

Man hat ein Objekt, dessen Rotation durch eine Matrix beschrieben wird, was generell sinnvoll ist, wenn das Objekt voneinander abhängige Drehungen vollführen soll oder man das lokale Koordinatensystem des Objekts benötigt. Jedenfalls will man nun das Objekt nicht von aussen bestaunen, sondern sich in die Ansicht des Objekts selbst hineinversetzen, so kann man dessen Rotationsmatrix einfach invertieren und schon hat man sein Ziel erreicht. Wen ähnliches interessiert, sollte sich jetzt einmal an mein Kamera Tutorial wagen und schauen, dass er's versteht.

Für allgemeine Matrizen ist die nötige Rechnerei leider nicht ganz harmlos. Ich empfehle hierzu einen Blick in die Wikipedia unter Inverse Matrix oder bessere Matheformelsammlungen bzw. Geometrie oder Lineare Algebra Skripte. Ist die Matrix dagegen ein Produkt aus Verschiebungen und Rotationen, dann langt bereits der Artikel Techniken_zur_Matrixinversion.

OpenGl, Direct3D, IrixGl, MesaGl,... und das Thema Matrizen

Wie hat man sich gefreut, als man glaubt Matrizen endlich ein wenig verstanden zu haben und dann das! Die ersten Versuche mit glLoadMatrix und glMultMatrix müssen zwingend schiefgehen. Immer, wenn man nicht vorgewarnt wird. Wer glaubt seine Matrizen einfach mit einem 2 Dimensionalen Array beschreiben zu können irrt. Die Idee ist zwar nicht schlecht, aber aus Performancegründen liegen die OpenGl Matrizen nicht zeilenweise, sondern spaltenweise im Speicher:

Ich persönlich bevorzuge meist, statt dass ich in einem 2D-Array immer mit den Zugriffsvariablen herumwurschtle, den Zugriff auf die Matrix mit einem eindimensionalen Array. Die obige Tabelle hilft, die passene Zelle zu finden.

Kopfschmerzen?

Ahh, wieder eines meiner schrecklichen Tutorials überlebt. Ich hoffe, dass wenigstens ein paar Leute unter euch das ein oder andere Verstanden haben und ich das alles nicht umsonst geschrieben habe (wenns nur einer Verstanden hat, bin ich schon glücklich ;-) ). Ein paar weitere, spannende Hilfsmittel, die hier nicht unerwähnt bleiben sollten, sind das Punktprodukt und das Vektorprodukt, welche Hilfsmittel in der Vektorrechung sind. Defizite dort gleicht das Tutorial über Lineare Algebra aus.

...have a lot of fun!

[Nico Michaelis]