Geometrie durch Kurven: Unterschied zwischen den Versionen
Aus DGL Wiki
Flash (Diskussion | Beiträge) K (Bild beschriftet und an passender Stelle erneut eingebunden) |
K (Vektorprod verl. Superpositions ed.) |
||
| Zeile 2: | Zeile 2: | ||
[[Bild:Torus_Knoten.jpg|center|Ein Torusknoten]] | [[Bild:Torus_Knoten.jpg|center|Ein Torusknoten]] | ||
| − | Die Geometrie vieler Kurvenförmiger Objekte lässt sich leicht erzeugen, wenn man eine Kurve kennt, die an ihnen entlang führt. Man hat also Eine Funktion Phi entlang eines Intervalles I=[a,e] in den R | + | Die Geometrie vieler Kurvenförmiger Objekte lässt sich leicht erzeugen, wenn man eine Kurve kennt, die an ihnen entlang führt. Man hat also Eine Funktion Phi entlang eines Intervalles I=[a,e] in den R<sup>3</sup>: |
| − | Phi: I -> R | + | Phi: I -> R<sup>3</sup> |
| − | Ist ihre 1. und 2. Ableitung ungleich Null, so kann man sehr leicht ein Geometrisches Objekt erzeugen, denn d/dt Phi(t) ist senkrecht zu d | + | Ist ihre 1. und 2. Ableitung ungleich Null, so kann man sehr leicht ein Geometrisches Objekt erzeugen, denn d/dt Phi(t) ist senkrecht zu d<sup>2</sup>/dt<sup>2</sup> Phi(t) und d/dt Phi(t) zeigt tangential zur Kurve. Mithilfe des [[Vektorprodukt|Kreuzprodukt]] erhält man so ein begleitendes Dreibein. |
int lengthsegments, int slicesegments; | int lengthsegments, int slicesegments; | ||
Version vom 12. Oktober 2006, 12:51 Uhr
Inhaltsverzeichnis
Geometrie durch Kurven
Die Geometrie vieler Kurvenförmiger Objekte lässt sich leicht erzeugen, wenn man eine Kurve kennt, die an ihnen entlang führt. Man hat also Eine Funktion Phi entlang eines Intervalles I=[a,e] in den R3:
Phi: I -> R3
Ist ihre 1. und 2. Ableitung ungleich Null, so kann man sehr leicht ein Geometrisches Objekt erzeugen, denn d/dt Phi(t) ist senkrecht zu d2/dt2 Phi(t) und d/dt Phi(t) zeigt tangential zur Kurve. Mithilfe des Kreuzprodukt erhält man so ein begleitendes Dreibein.
int lengthsegments, int slicesegments;
private void ConstructCurve() {
Vertices = new Vertex[lengthsegments + 1, slicesegments + 1];
Normals = new Vertex[lengthsegments + 1, slicesegments + 1];
int i, j;
double t;
Vertex[] Basis = new Vertex[3];
Vertex v = new Vertex();
for (i = 0; i <= lengthsegments; i++)
{
t = ((e-a) / (double)lengthsegments) * (double)i + a;
v = Phi(t);
Basis[0] = (dPhi(t)/dt) //1. Ableitung
Basis[0] = Basis[0].Normalize();
Basis[1] = (d^2Phi(t)/dt^2) //2. Ableitung
Basis[1] = Basis[1].Normalize();
Basis[2] = Basis[0] % Basis[1]; //% ist das Kreuzprodukt
//Die Basis ist nun das Mitlaufende Dreibein des Knotens
for (j = 0; j <= slicesegments; j++)
{
double mu = 1.0/(double) slicesegments *2.0*Math.PI * j;
Normals[i,j] = Math.Sin(mu)*Basis[1] +
Math.Cos(mu)*Basis[2];
Vertices[i,j] = tuberadius * Normals[i,j] + v;
}
}
}
public override void RenderCurve()
{
int i, j;
for (i = 0; i < lengthsegments; i++)
{
gl.Begin(gl.TRIANGLE_STRIP);
for (j = 0; j <= slicesegments; j++) {
gl.Normal3d(Normals[i, j].x, Normals[i, j].y, Normals[i, j].z);
gl.Vertex3d(Vertices[i, j].x, Vertices[i, j].y, Vertices[i, j].z);
gl.Normal3d(Normals[i + 1, j].x, Normals[i + 1, j].y, Normals[i + 1, j].z);
gl.Vertex3d(Vertices[i + 1, j].x, Vertices[i + 1, j].y, Vertices[i + 1, j].z);
}
gl.End();
}
}
Beispiele
Torus
I := [0,2*Pi] Phi(t) = (r*cos(t); r*sin(t); 0)
(p,q) Torus Knoten
I := [0,2*Pi]
p,q teilerfremd
Phi(t) = ((R + r * Math.Cos(p * t)) * Math.Cos(q * t);
(R + r * Math.Cos(p * t)) * Math.Sin(q * t);
r * Math.Sin(p*t))
