Quaternion
Inhaltsverzeichnis
Hamiltonsche Quaternionen
Übersicht
Quaternionen bilden ein 4D-Zahlensystem ähnlich dem 2D-Zahlensystem der Komplexen Zahlen, jedoch sind sie bei der Multiplikation nicht kommutativ ( d.h. für Quaternionen q1, q2 gilt nicht immer: q1*q2 = q2*q1 ). Sie werden häufig zur Darstellung und einfachen Berechnung von Isometrien (Drehungen) im 3D-Raum verwendet, wobei sie hier deutlich anschaulicher sind als unitäre Matrizen (Rotationsmatrizen).
Definition
Ein Quaternion q hat folgende, eindeutige Gestalt:
q = a + b*i + c*j + d*k,
wobei a, b, c, d reele Zahlen darstellen und i, j, k Imaginäre Zahlen mit den Eigenschaften:
i*i=j*j=k*k=-1 i*j = k = -j*i j*k = i = -k*j k*i = j = -i*k
Die Quaternionen H bilden also einen 4-Dimensionalen Raum in den Komponenten a, b, c, d. Man trennt dabei häufig den 3D-Raum der reinen Quaternionen V der Form v = b*i + c*j + d*k heraus.
Grundlegende Arithmetik
Addition
Die Addition zweier Quaternionen geschieht komponentenweise, also:
q = a + bi+ cj + dk r = e + fi+ gj + hk q + r = (a + e) + (b + f)i + (c + g)j + (d + h)k
Multiplikation
Die Multiplikation zweier Quaternionen geschieht wie auf den reelen Zahlen gewohnt mit gedachten Variablen i, j, k, wobei die oben definierten Eigenschaften zum Einsatz kommen:
q*r = (a + bi+ cj + dk)*(e + fi+ gj + hk) =
= ae + afi + agj + ahk
+ bie + bifi + bigj + bihk
+ cje + cjfi + cjgj + cjhk
+ dke + dkfi + dkgj + dkhk
= (a * e - b * f - c * g - d * h)
+ (a * f + b * e + c * h - d * g)i
+ (a * g - b * h + c * e + d * f)j
+ (a * h + b * g - c * f + d * e)k
Man beachte im Allgemeinen: q*r <> r*q !
Konjugation
Die Konjugation ist definiert durch:
konj(q) = a - bi - cj - dk,
also die Inversion des Vorzeichens der Imaginären Anteile i, j, k. Es lässt sich leicht zeigen, dass gilt:
konj(konj(q)) = q konj(q*p) = konj(p)* konj(q) konj(q + p) = konj(q) + konj(p)
Norm / Betrag
Die Norm ||q|| eines Quaternions Q ist definiert als:
||q|| = Sqrt(a*a + b*b + c*c + d*d) = Sqrt(q*konj(q))
Inversion
Mit den obigen Funktionen lässt sich sehr leicht ein Quaternion h zu q berechnen, so dass gilt: h*q=q*h=1, denn:
||q||^2 = q * konj(q) <=> 1 = (q * konj(q)) / ||q||2 h := konj(q) / ||q||2 => 1 = q * h
Und weil offensichtlich ||q|| = ||konj(q)|| gilt, folgt
||q||2 = ||konj(q)||2 = konj(q)*konj(konj(q)) = konj(q)*q
Und damit:
1 = h * q.
h ist also das multiplikativ invers zu q: h = q-1
Injektion der Reelen und Komplexen Zahlen
Die reellen Zahlen lassen sich injektiv in die Quaternionen abbilden:
x -> x + 0*i + 0*j + 0*k
Entsprechend für die komplexen Zahlen:
x + y*i -> x+ y*i + 0*j + 0*k
Die zugehörigen Rechenregeln bleiben dabei erhalten.
Isometrien auf Quaternionen
Isometrien auf H
Die Isometrien der Quaternionen auf sich selbst (also die Isometrien des 4D-Raumes) lassen sich in Quaternionen beschreiben durch zwei Quaternionen P,Q, mit ||P||=||Q|| = 1 und den Abbildungen
φ(P,Q,.): H -> H, x -> φ(P,Q,x) := P*x*konj(Q) = P*x*Q-1
ψ(P,Q,.): H -> H x -> ψ(P,Q,x) := P*konj(x)*konj(Q) = P*konj(x)*Q-1
Dabei gilt für Quaternionen P',Q' mit ||P'||=||Q'||=1:
φ(P,Q,φ(P',Q',.)) = φ(P*P',Q*Q',.) φ(P,Q,ψ(P',Q',.)) = ψ(P*P',Q*Q',.)
ψ(P,Q,ψ(P',Q',.)) = φ(P*Q',Q*P',.) ψ(P,Q,φ(P',Q',.)) = ψ(P*Q',Q*P',.),
was man ohne weiteres ausrechnen kann.
Isometrien auf V
Der Fall der Isometrien auf den reinen Quaternionen V (siehe Definition) ist der für die 3D Grafik interessante Fall. Sie stellen die Rotationen auf V dar und das in einer besonders leicht lesbaren Form. Sei also Q eine Quaternion der Norm 1, dann gehört dazu eine Isometrie auf V:
φ(Q,.): V -> V x -> φ(Q,x) := φ(Q,Q,x) = Q*x*konj(Q) = Q*x*Q-1,
wobei offensichtlich φ(-Q,.) = φ(Q,.), Q und -Q beschreiben also die selbe Drehung. Und entsprechnd der Rechenregeln für φ auf H (siehe oben) gilt mit einem Quaternion Q' mit ||Q'||=1:
φ(Q, φ(Q', x)) = Q*Q'*x*konj(Q')*konj(Q) = (Q*Q')*x*konj(Q*Q') = φ(Q*Q',x)
Man kann Q sehr leicht zerlegen in:
Q = cos(α) + sin(α)*P, 0<=α<=π, P aus V, ||P|| = 1,
wobei dann φ(Q,x) eine Drehung von x (man beachte, dass dabei x aus V ist) um den Winkel 2*α um die Achse P darstellt.
Einige Implementationsdetails
Am besten speichert man ein Quaternion duch speichern der 4 Komponenten in einem Array (Reihenfolge: realteil, i, j, k - Komponente, bzw. a,b,c,d):
public sealed class Quaternion : ILinearTransformation
{
private double[] coords = new double[4];
Ein besonders spannender Konstruktor für Quaternion ist der, der "rotations-Quaternionen" erstellt. Übergeben wird also ein Vektor, der die Drehachse beschreibt, sowie ein passender Winkel:
public Quaternion(double alpha, Vertex3 rotAxis)
{
alpha = (2.0*Math.PI/(360.0*2.0))* alpha;
coords[0] = 1.0;
if (rotAxis.Magnitude < double.Epsilon)
return;
rotAxis.Normalize();
double c = Math.Cos(alpha), s = Math.Sin(alpha);
coords[0] = c; coords[1] = rotAxis[0] * s;
coords[2] = rotAxis[1] * s; coords[3] = rotAxis[2] * s;
}
Diese Funktion ergibt sich ganz einfach aus der obigen Formel:
Q = cos(α) + sin(α)*P, 0<=α<=π, P aus V, ||P|| = 1,
denn d.h. der Realteil der Drehung muss auf cos(α) gesetzt werden und die Drehachse wird mit sin(α) multipliziert und in den reinen Imaginärteil gesteckt (die Komponenten i,j,k werden gerade zu x,y,z im Koordinatensystem).
Ausserdem sollte man die wesentlichen Operationen implementeiren, etwa:
public Quaternion Conjugate()
{
return new Quaternion(coords[0], -coords[1], -coords[2], -coords[3]);
}
Die Konjugation dreht also wie oben definiert gerade die Vorzeichen der Imaginärteile um.
Genauso implementiert man die anderen Operationen nach:
...
public static Quaternion Multiply(Quaternion q1, Quaternion q2)
{
if (q1 == null) throw new ArgumentNullException("q1");
if (q2 == null) throw new ArgumentNullException("q2");
Quaternion result = new Quaternion();
result.coords[0] = q1.coords[0] * q2.coords[0]
- q1.coords[1] * q2.coords[1]
- q1.coords[2] * q2.coords[2]
- q1.coords[3] * q2.coords[3];
result.coords[1] = q1.coords[0] * q2.coords[1]
+ q1.coords[1] * q2.coords[0]
+ q1.coords[2] * q2.coords[3]
- q1.coords[3] * q2.coords[2];
result.coords[2] = q1.coords[0] * q2.coords[2]
- q1.coords[1] * q2.coords[3]
+ q1.coords[2] * q2.coords[0]
+ q1.coords[3] * q2.coords[1];
result.coords[3] = q1.coords[0] * q2.coords[3]
+ q1.coords[1] * q2.coords[2]
- q1.coords[2] * q2.coords[1]
+ q1.coords[3] * q2.coords[0];
return result;
}
...
public Quaternion Inverse()
{
double mag = Magnitude;
mag = mag * mag;
if (mag == 0.0) return null;
return Conjugate().Scale(1.0 / mag);
}
Besonders spannend ist sicherlich auch das Anwenden eines Rotations-Quaternions auf ein Vertex. Diese Funktion entsteht, wenn man die oben genannte Funktion φ explizit aufschreibt und ausrechnet. Es ergibt sich dabei eine wenig spannende, aber sehr ausladende Rechnung, um am Ende alles richtig ausmultipliziert und nach komponente sortiert zu haben (nicht vergessen: man darf dabei nur reele Zahlen miteinander Tauschen, sowie reele Zahlen mit i,j,k. i,j,k aber letztere nie miteinander, sonst stimmen die Vorzeichen nicht! Um ein Produkt aus i,j,k loszuwerden verwendet man die Tabelle, welche unter der Definition der Quaternionen gegeben ist -- die Multiplikation war nicht kommutativ:
public Vertex3 Apply(Vertex3 v)
{
Vertex3 result = new Vertex3();
double v0 = v[0];
double v1 = v[1];
double v2 = v[2];
double a00 = coords[0] * coords[0];
double a01 = coords[0] * coords[1];
double a02 = coords[0] * coords[2];
double a03 = coords[0] * coords[3];
double a11 = coords[1] * coords[1];
double a12 = coords[1] * coords[2];
double a13 = coords[1] * coords[3];
double a22 = coords[2] * coords[2];
double a23 = coords[2] * coords[3];
double a33 = coords[3] * coords[3];
result[0] = v0 * (+a00 + a11 - a22 - a33)
+ 2 * (a12 * v1 + a13 * v2 + a02 * v2 - a03 * v1);
result[1] = v1 * (+a00 - a11 + a22 - a33)
+ 2 * (a12 * v0 + a23 * v2 + a03 * v0 - a01 * v2);
result[2] = v2 * (+a00 - a11 - a22 + a33)
+ 2 * (a13 * v0 + a23 * v1 - a02 * v0 + a01 * v1);
return result;
}
Einsatz von Quaternionen in der 3D-Grafik
Warum also sind Quaternionen nützlich in der 3D Grafik?
- Man kann sie einsetzen, um Rotationen platzsparend zu speichern. In einigen Anwendungen werden pro Objekt eine Rotationsmatrix samt Translation gespeichert, um die Ausrichtung eines Objektes zu beschreiben. Das ergibt 16 Werte pro Objekt. Nimmt man stattdessen Quaternionen (mit Norm 1) und einen Translationsvektor, ergeben sich 4+3=7 Werte, also weniger als die Hälfte.
- Multipliziert man Quaternionen mit Quaternionen, "dreht also das Objekt weiter", ergeben sich 4x4=16 Multiplikationen und Additionen. Bei Rotationsmatrizen benötigt man mind. 3x3x3=27 Multiplikationen.
- Wendet man Quaternionen auf ein Vertex an (die entsprechen im obigen den Quaternionen V), dann kommt man auf 18 Multiplikationen. Bei Rotationsmatrizen sind es mind. 9.
- Will man Quaternionen (Norm 1) invertieren, muss man die drei i,j,k Komponenten mit einem minus versehen. Rotationsmatrizen werden durch systematisches vertauschen von 6 Werten invertiert.
- Will man aus einem Quaternion eine Rotationsmatrix machen, etwa um sie per glLoadMatrix and OpenGl zu übergeben, benötigt man (indem man das Quaternionen einzeln mit i,j und k multipliziert, also den Einheitsvektoren) benötigt man 3*14 Multiplikationen. Matrizen kommen ohne Bearbeitung aus.
- Quaternionen beschreiben Rotationen Q = cos(α) + sin(α)*P, 0<=α<=π, P aus V, ||P|| = 1, also durch Rotationswinkel α und Drehachse P und sind damit auf einen Blick anschaulicher als eine Rotationsmatrix.
Quaternionen sind also insbesondere dann nützlich, wenn man viele Objekte mit wenig Speicherplatz ablegen möchte und stark rekursiv abhängige Drehungen von den Objekten untereinander hat (etwa Finger an Hand an Unterarm an Oberarm an Schulter an Körper) und man damit viel rechnen muss. Zum reinen Darstellen sind sie dagegen Kontraproduktiv, da man sie zur Übergabe an OpenGl erst umrechnen muss. Dies entfällt bei manch anderen Render-Techniken, etwa Raytracing.
Umstieg Matrizen Quaternionen
Da OpenGl Grafiker oft bereits einges an Erfahrung mit Matrizen haben, nur ein paar kleine Anmerkungen, wie beide Welten zusammenhängen.
- Gespeichert werden die 4 Komponenten (a,b,c,d) des Quaternion, geschrieben immer als a + bi + cj + dk.
- Die Einheitsmatrix wird durch das Einheitsquaternion 1 + 0i + 0j + 0k ausgedrückt.
- Rotationen sind die Quaternionen mit Norm 1.
- Ein Vektor (x,y,z) wird in der Quaternionenwelt zu v := 0 + xi + yj + zk. Rotationsquaternionen Q werden dann angewendet durch Q*v*konj(Q). Siehe Implementationsdetails "Vertex3 Apply(Vertex3 v)".
- Um Quaternionen an OpenGl zu übergeben, müssen die "Einheitsvektoren" 1i,1j,1k einzeln wie Vertices gerechnet werden, also Q*i*konj(Q), Q*j*konj(Q), Q*k*konj(Q). Wenn man dazu "Vertex3 Apply(Vertex3 v)" ein wenig abändert und wiederverwertbare Ergebnisse aufhebt, kann man viele Rechnungen sparen. Das Ergebnis setzt man dann als Spalten in die Matrix ein und kann dann übergeben werden.
