Vektorprodukt

Vektorprodukt

Übersicht

Das Vektorprodukt (Vektrorkreuzprodukt, Kreuzprodukt) wird eingesetzt, um einen Vektor zu finden, der Senkrecht zu 2 bekannten Vektoren steht. Diese Vektoren können z.B. 2 Richtungen entlang eines Dreiecks sein, um so die Normale des Dreiecks berechnen zu können, was zur Berechnung von Licht wichtig ist. Zusätzlich kann man damit Flächeninhalte berechnen.

Definition

Das eindeutige Vektorprodukt aχb zweier Vektoren (a,b) ist definiert durch:

1. aχb steht senkrecht zu a und zu b, also a•(aχb) = b•(aχb) = 0, wo "•" für das Standard Skalarprodukt steht.
2. a,b, aχb bilden ein Rechtssystem, d.h. stellt man die Vektoren mit den Fingern in der richtigen Reihenfolge dar, so benötigt man die rechte Hand (Daumen, Zeigefinger, Mittelfinger) und nicht die linke Hand.
3. ||aχb||=||a||*||b||*sin(φ) (0 ≤ φ ≤ π) ( Wird zur Berechnung der Parallelogrammfläche genutzt. Durch halbierung erhält man die Dreiecksfläche. )

Für a=(a₁;a₂;a₃), b=(b₁;b₂;b₃) berechnet sich das Vektorprodukt durch:

      a2*b3 - a3*b2
aχb = a3*b1 - a1*b3
      a1*b2 - a2*b1

Die drei Zeilen stehen hier natürlich für die drei Komponenten des Vektors aχb.

Rechenregeln

Es gilt:

• bχa = - (aχb)
• Linearität:

lambda*(aχb) = (lambda*a)χb = aχ(lambda*b) (lambda reel) 
(a+c)χb = aχb + cχb 
aχ(b+c) = -(b+c)χa = -(bχa + cχa) = aχb + aχc

Siehe Auch

Normalen, Standard Skalarprodukt