Version vom 1. Juni 2010, 12:37 Uhr

Vorwort

Lineare Algebra ist ein Teilgebiet der Mathematik und beschäftigt sich mit Vektorräumen. Die für OpenGL wichtigen Unterbereiche sind Vektoren und Matrizen. Der größte Teil der 3D Programmierung beschäftigt sich mit Linearer Algebra, daher sollte auch diese Grundlage eine besondere Aufmerksamkeit gewidmet werden. Sollte der Inhalt vieleicht zu viel für einmal sein, dann wäre es ratsam in mehreren Etappen zu bewältigen aber es sollte auf jedenfall vollständig verstanden werden, bevor man sich ernsthaft mit OpenGL auseinander setzen will.

Trigonometrie

Da später in der Linearen Algebra auf die Trigonometrie zurück gegriffen werden wird, soll als erstes die notwendigen Grundlagen in diesem Bereich beleuchtet werden.

Bogenmaß und Gradmaß

Man unterscheidet bei der Darstellung eines Winkels zwischen Bogenmaß(rad) und Gradmaß(deg). Das Bogenmaß wird durch die Konstante Pi beschrieben, wobei der Wertebereich von 0 bis 2*Pi geht. Das Gradmaß ist eine Einteilung, welche von 0 bis 360° abgebildet wird. 0° sind 0, 90° sind 0.5*Pi, 180° sind Pi, 270° sind 2/3*Pi und 360° sind 2*Pi oder auch 0° und 0.

Um vom Bogenmaß in Gradmaß um zu rechnen, kann man folgende Formel verwenden.

Für die Umwandlung von Bogenmaß in Gradmaß gilt diese Formel.

Trigonometrische Funktionen

Für das sinnvolle arbeiten mit Winkelfunktionen benötigen wir einen Einheitskreis. Dieser ist ein Kreis, dessen Radius 1 ist und somit eine Reihe von Funktionen zu lässt.

Der Einheitskreis ist wie folgt Beschriftet. In Blau sind die Bogenmaß Werte angegeben, in dunkelgrün die äquivalenten Werte der Kosinusfunktion und Orang ist der Winkel. Wenn man den Kosinus und Sinus von dem Winkel errechnet, dann erhält man den Hellgrünen x und Roten y Wert. Egal welchen Winkel man in der Sinus- und Kosinus-Funktion einsetzt, der Wert wird nie größer 1 oder kleiner -1 werden. Aber halt, wieso

Trigonometrie im allgemeinen Dreieck

Man unterscheidet in der Trigonometrie zwischen rechtwinkligen Dreiecken und allgemeinen Dreiecken. Die allgemeinen Dreiecke sind allerdings für den weiteren Verlauf des Artikels wichtig und werden deswegen behandelt.

Sinus- und Kosinussatz

Ein wichtige Gleichung, welche später wieder aufgegriffen werden wird, ist der Kosinussatz. Doch zuvor sollte der Sinussatz genauer betrachtet werden.

Durch das Umstellen der Gleichungen kann man die einzelnen Winkel oder Seiten, eines Dreiecks, erhalten. Hierzu werden entweder 2 Seiten und ein Winkel oder 2 Winkel und eine Seite benötigt.

Der Kosinussatz

ermöglicht es, entweder aus drei gegebenen Seiten die Winkel auszurechnen oder aus zwei Seiten und ihrem Zwischenwinkel die gegenüber liegende Seite.

Eigenschaften und Formeln

Es kann hilfreich sein, eine Sinus Funktion in eine Kosinus Funktion umzuwandeln oder umgekehrt. Hierzu benötigt man die Komplementärformeln, welche wie folgt aussehen.

Um den Rückgabewert, der Sinus- oder Kosinus-Funktion in den Bogenmaß um zu wandeln, gibt es folgende Umkehrfunktionen.

Es ist zu beachten, dass diese den Bogenmaß zurück geben und diese für Gradmaß entsprechend umgerechnet werden müssen.

Vektor

Ein Vektor kann mit einem Array oder einer Liste vergleicht werden, wenn man z.B. einen 3-dimensionalen Vektor meint, dann wäre es ein Array mit 3 Elementen. Die übliche Schreibweise eines Vektors sieht wie folgt aus.

Eine entsprechende C++ Representation wäre z.B. folgende

class TVector4Float
{
  public:
    float m_Vec[4];
};

OpenGL verwendet auf der Grafikkarte immer 4-dimensionale Vektoren, auch wenn nur 1 oder 3 benötigt werden. Die restlichen Elemente des Vektors werden dann mit 0 aufgefüllt. Vektoren werden in OpenGL in 2 Arten verwendet, als absoluter und als relativer Wert. Absolute Werte wären z.B. Positionen und Farbwerte wärend relative Werte z.B. eine Transformation wäre. Der OpenGL Vektor sieht wie folgt aus.

Einheitsvektor

Ein besondere Form eines Vektors ist der Einheitsvektor, welcher immer eine Länge von 1 ergibt. Der Einheitsvektor wird normalerweise als klein e gekennzeichnet.

Die Berechnung eines Einheitsvektors wird später in der der Magnitude und Normalisierung Funktion näher erläutert. Einheitsvektoren sind als Normalen/Richtungsvektoren in OpenGL im Einsatz und ist die Basis für Rotationen.

Addition

Die Addition wird Komponentenweise ausgeführt, was bedeutet, man kann sich eine Addition von Vektoren als eine Addition von jeden einzelnen Element mit dem entsprechenden Element im anderem Vektor Vorstellen.

Die Addition von Vektoren kann man sich sehr einfach Vorstellen, in dem man die einzelnen Vektoren als Bewegungsbefehle sieht. Wenn man also 2 schritte vorwärts,einen schritt seitwärts laufen soll und danach ein halben Schritt vorwärts und ein Schritt seitwärts, dann kann man diese beiden Befehle auch zu einem Befehl zusammen fassen. Laufe 2 1/2 Schritte vorwärts und 2 Schritte Seitwärts und wir stehen am gleichen Punkt und dieser Befehl wäre dann unser Ergebnis Vektor c.

class TVector4Float
{
//...
TVector4Float Addition(TVector4Float b)
{
  TVector4Float c;
  for (unsigned int i=0;i<4;i++)
    c.m_Vec[i]=this->m_Vec[i]+b.m_Vec[i];
  return c;
}
};

Subtraktion

Hier gilt gleiches, wie bei der Addition, nur das Komponentenweise Subtrahiert wird.

Bei der Subtraktion eines Vektors wendet man den ersten Befehl an und läuft z.B. 2 Schritte nach vorne und einen Seitwärts, dann wendet man den 2. Schritt an aber wechselt das Vorzeichen jeder einzelnen Komponente. Also wird ein positive Komponente zu einer negativen und eine negative zu einer Positiven. Wenn man also einen schritt seitwärts,nach links, laufen soll, dann läuft man ein Schritt seitwärts, nach rechts, sowie vorwärts statt rückwärts. Man kann eine Subtraktion über eine Addition realisieren, wenn man jede Subtraktion, den rechten Vektor zuvor invertiert und dann addiert.

class TVector4Float
{
//...
TVector4Float Subtraktion(TVector4Float b)
{
  TVector4Float c;
  for (unsigned int i=0;i<4;i++)
    c.m_Vec[i]=this->m_Vec[i]-b.m_Vec[i];
  return c;
}
};

Betrag

Magnitude ist der Englische Begriff für die Berechnung des Betrags eines Vektors oder auch die Länge. Die Länge des Vektors wird benötigt, wenn man einen Vektor Normalisieren will oder fest stellen möchte ob ein Vektor ein Einheitsvektor ist.

Der Betrag eines Vektors kann über den Satz des Pytagoras ermittelt werden, welcher die Wurzel der Summe, der Quadrate, aller Komponenten ist. Dies ist natürlich für wenige gut Vorstellbar und daher hier mal eine bessere Erklärung. Ein Vektor kann in n Komponenten zerlegt werden, der 4 Komponenten Vektor von OpenGL in 4 Komponenten. Jede Komponente stellt eine Dimension dar, welche x,y,z und w sind. Pytagoras lernt man in der Schule im 2 Dimensionalen Raum kennen, also wie es im Abbild über diesen Text dargestellt ist. Die Regel besagt, das der Flächeninhalt einer Seite der Summe der anderen entspricht, also l²=x²+y². Diese Flächen sind Quadratisch also hat jede Seite der Fläche die gleiche Kantenlänge. Wenn man die Quadratwurzel von der Fläche zieht, bekommt man also die Kantenlänge. Wenn man nun die Flächen von x,y,z und w summiert erhält man die Fläche l². Zieht man von l² die Quadratwurzel, dann hat man die Kantenlänge l von dem 4Komponenten Vektor, welche als Betrag oder Länge bezeichnet wird. Da bei einem Vektor w=0.0 gesetzt wird, hat diese keinen Einfluss auf diese Operation und wird in den Formeln auch in der Regel nicht mit hin geschrieben.

class TVector4Float
{
//...
float Betrag(){
  float len=0.0;
  for (unsigned int i=0;i<4;i++)
    len+=this->m_Vec[i]*this->m_Vec[i];
  return sqrt(len);
}
};

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt erlaubt uns die Berechnung, des Winkels, zwischen 2 Vektoren. Hierfür müssen allerdings beide Vektoren Normalisiert sein, also jeweils einen Betrag von 1 ergeben. Sonnst muss dies noch nachträglich getan werden.

Wenn die 2 Vektoren a und b vorliegen, sollte man davon ausgehen, dass der Betrag beider Vektoren jeweils 1 ist. Sollte es nicht der Fall sein, so wie im Bild über diesen Text, dann muss dies durch die Normalisierung nachgeholt werden. Dies passiert, indem man den Betrag beider Vektoren errechnet und dann diesen Komponentenweise mit dem Vektor dividiert. Die oben stehende Formel wird aus dem Kosinussatz abgeleitet und Umgestellt. Darraus ergibt sich am Ende, dass die Summe, der Komponentenweise multiplizierten Vektoren a und b den Kosinus des Winkels ergibt. Es ist wichtig zu beachten, dass nicht der Winkel sondern der Kosinus des Winkels in c wieder zu finden ist. Wenn man den Winkel haben möchte, dann muss man den Arkuskosinus von c berechnen und das Ergebnis von Bogenmaß in Gradmaß umwandeln um den Winkel(als Delta makiert) zu bekommen.

class TVector4Float
{
//...
float Skalarprodukt(TVector4Float b)
{
  float alpha=0.0;
  for (unsigned int i=0;i<4;i++)
    alpha+=this->m_Vec[i]*b.m_Vec[i];
  return c;
}
};

Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt errechnet einen Vektor, der senkrecht zu den Vektoren a und b steht, wenn a und b den selben Ursprung haben. Dieses Verhalten wird genutz, um die Normale einer Fläche zu errechnen.

Der berechnete Vektor hat wie schon erwähnt die Eigenschaft, dass er senkrecht zu den Vektoren a und b ausgerichtet ist. Dies bedeutet, dass der Winkel zwischen dem Berechnetem Winkel und a oder b immer 90° beträgt. Wenn a und b 2 von den 3 Eckpunkten, eines Dreiecks ist, dann zeigt der Vektor c senkrecht zum Dreieck und bildet den Richtungsvektor des Dreiecks. Wenn man nun noch diesen Vektor normalisiert, dann erhält man die Flächenormale. Diese hat den Betrag 1 und wird für verschiedene Rendertechniken, sowie Physikberechnungen benötigt. Wenn z.B. ein Lichtstrahl solch ein Dreieck schneidet, dann kann man mit Hilfe des Vektors(vom Lichstrahl) und der Normale(der Fläche) den Reflektionsvektor berechnen und somit sagen, in welche Richtung sich das Licht weiter bewegen würde. Es ist zu beachten, dass die Reihenfolge, in der man beide Vektoren Multipliziert einen Einfluss auf die Richtung, in die c zeigt. Wenn man a und b tauscht, dann wechseln die Vorzeichen aller Komponenten von c.

class TVector4Float
{
...
TVector4Float Kreuzprodukt(TVector4Float b)
{
  TVector4Float c;
  unsigned int prev,next;
  for (unsigned int i=0;i<4;i++)
  {
    if (i==0)
      prev=3;
    else
      prev=i-1;
    next=i+1 % 4;//i+1 Modulog 4
    c.m_Vec[i]=this->m_Vec[next]*b.m_Vec[prev]-this->m_Vec[prev]*b.m_Vec[next];
  }
  return c;
}
};

Normalisieren

Bei der Normalisierung wird der Betrag eines Vektors mit dem Vektor dividiert und man erhält ein Vektor, der in die Gleiche Richtung zeigt aber auf eine Länge 1 skaliert ist.

class TVector4Float
{
//...
TVector4Float Normalisieren(){
  TVector4Float c;
  c=(*this)/this->Betrag();
  return c;
}
};

Matrix

Eine Matrix kann man sich als 2-dimensionalen Array mit n und m Länge vorstellen.

OpenGL verwendet 4x4 große Matrizen und kann aus 4 Vektoren mit einer Länge von 4 konstruiert werden.

class TMatrix4x4Float
{ 
  protected: 
    TVector4Float m_Matrix[4]; //Erlaubt uns das nutzen von der eigenen Vektorklarsse.
    float m_Array[16]; //für die LoadMatrix Funktion von OpenGL
  public:
    TVector4Float& Vektor(int Index)//Gibt eine Referenz vom Vektor zurück, was wie ein Pointer ist aber 100% auf ein Speicher zeigt, der existiert.
    { 
      return m_Matrix[Index]; 
    }

    T* GetMatrix1DArray()//Liefert den Pointer von der m_Array variable zurück.
    { 
      //Überträgt die Daten von den einzelnen Vektoren in die OpenGL kompatible Matrix(m_Array).
      for (int i=0;i<4;i++)
        memcpy(&m_Array[i*4],&m_Matrix[i][0],16);
      return &m_Array[0];//Gibt den Pointer auf m_Array zurück.
    }
};

Für Matrizen brauchen wir nicht so viele Funktionen wie bei Vektoren, um genau zu sagen brauchen wir 2 Operationen. Diese Operationen lauten Transponieren und Multiplikation. Bei der Matrix benötigen wir einige Konstruktionsfunktionen und zwar Identity, Translate, Rotate und Scale Matrix. Diese Matrizen machen die ganze Arbeit für uns, wenn man sich in einem 3D Raum bewegen möchte, welcher als Modelview Matrix abgebildet wird.

Transponieren

Transponieren wird durch ein großes T über der Matrix dargestellt. Diese Funktion tauscht die Werte einer Matrix miteinander aus, so das aus einer Spalten konstruierten Matrix eine Zeilenweise konstruierte Matrix wird. Diese Funktion kann Hilfreich sein, wenn man zwischen Direct3D und OpenGL Daten austauschen will, denn nicht jeder nutzt spalten orientierte Matrizen.

class TMatrix4x4Float
{ 
//...
void Transponieren()
{ 
  swap(m_Matrix.Vektor(0).m_Vec[1],m_Matrix.Vektor(1).m_Vec[0]); //swap kopiert b in tmp, kopiert a in b und tmp in a
  swap(m_Matrix.Vektor(0).m_Vec[2],m_Matrix.Vektor(2).m_Vec[0]); 
  swap(m_Matrix.Vektor(0).m_Vec[3],m_Matrix.Vektor(3).m_Vec[0]); 

  swap(m_Matrix.Vektor(1).m_Vec[2],m_Matrix.Vektor(2).m_Vec[1]); 
  swap(m_Matrix.Vektor(1).m_Vec[3],m_Matrix.Vektor(3).m_Vec[1]); 

  swap(m_Matrix.Vektor(2).m_Vec[3],m_Matrix.Vektor(3).m_Vec[2]); 
}
};

Multiplikation

Multiplikation ist die wichtigste Operation bei Matrizen, wenn wir uns mit OpenGL beschäftigen. Dies liegt daran, dass OpenGL 2 verschiedene Matrizen verwendet, um Vektoren in Bildschirmkoordinaten um zu wandeln. Damit dies Funktioniert muss jeder Vektor mit diesen Matrizen jeweils multipliziert werden. Um eine Matrix zu manipulieren wird diese mit einer Konstruierten Matrix multipliziert. Diese Operation die ist meist ausgeführte Operation sowohl in der OpenGL Pipeline als auch in einem Spiel. Seit OpenGL3 gibt es kein Matrizen support mehr, was bedeutet, dass man diese selber implementieren muss und dann die fertigen Matrizen an OpenGL übergibt. Die lässt viel Raum für Optimierung und kann somit ein OpenGL3 Programm schneller machen als ein OpenGL2 Programm, wenn man zuvor die glTranslate,glRotate und weiteren Funktionen verwendet hat. Es ist also ratsam sich eine sehr Performance Bibliothek zu laden oder mit einem Performance Analyzer bewaffnet den eigenen Code zu optimieren.

Multiplikation mit einem Vektor

Um eine Matrix mit einem Vektor zu multiplizieren, braucht man man nur den Vektor[n] von der Matrix mit der Komponente[n] von dem Vektor multiplizieren und die resultierenden Vektoren anschließend addieren. Hierbei wird also ein Vektor mit einer einzelnen Komponente multipliziert, was weiter oben, bei den Vektoren, erklärt wurde.

class TMatrix4x4Float
{ 
//...
TVector4Float Multipliziere(TVector4Float V) 
{ 
  TVector4Float v=m_Matrix.Vektor(0)*V.m_Vec[0]+m_Matrix.Vektor(1)*V.m_Vec[1]+m_Matrix.Vektor(2)*V.m_Vec[2]+m_Matrix.Vektor(3)*V.m_Vec[3];
  return v; 
}
};

Multiplikation mit einer Matrix

Es sieht recht aufwändig aus allerdings kann man es dank der vorigen Matrix-Vektor Multiplikation auf eine recht übersichtliches Maß runter streichen. Man braucht dann nur noch die Matrix a jeweils mit einen der Vektoren von Matrix b multiplizieren und hat die Matrix-Matrix Multiplikation erledigt.

class TMatrix4x4Float
{ 
//...
TMatrix4x4Float Multiplikation(TMatrix4x4Float M) 
{ 
  TMatrix4x4Float M1((*this)*M.Vektor(0)), (*this)*M.Vektor(1), (*this)*M.Vektor(2), (*this)*M.Vektor(3)); 
  return M1;
}
};

Konstruieren von Matrizen

Identity

Die Identity Matrix ist die Initialisierungsmatrix, mit der alle Matrizen belegt werden. Diese ist recht einfach und hat denn Sinn, dass bei einer Multiplikation immer der Wert herraus kommt, mit dem diese Multipliziert wurde. Wer aufmerksam gelsen hat, der wird nun an Einheitsvektoren denken und liegt richtig. Aufgrund der beschaffenheit einer Matrix benötigen wir in jeder Reihe und Spalte jeweils ein Element, welche den Wert 1 an nimmt und die restlichen nehmen den Wert 0 an. Die sieht dann wie folgt aus.

Es ist nicht zwingend notwendig die Einheitsvektoren in dieser Reihenfolge zu verwenden, man könnte auch den ersten und dritten Vektor tauschen und es würde trotzdem das gleiche Ergebnis geben.

class TMatrix4x4Float
{ 
//...
static TVector4Float Identity[4];//Statische Variable, welche nur einmal existiert.

void LadeIdentity()
{
  for (int i=0;i<4;i++)
    m_Matrix.Vektor(i)=Identity.m_Vec[i];
}
};

TVector4Float TMatrix4x4Float::Identity[4]={TVector4Float(1.0,0.0,0.0,0.0),TVector4Float(0.0,1.0,0.0,0.0),TVector4Float(0.0,0.0,1.0,0.0),TVector4Float(0.0,0.0,0.0,1.0)};

Translate

Wenn man ein Vektor oder Matrix in x,y,z bewegen möchte, dann kann man dies mit einer Transformationsmatrix erreichen. Dazu erstellt man eine Matrix, füllt sie mit der Identity Matrix und setzt dann x,y,z in der Matrix mit den zu x,y,z Werten, um die man etwas verschieben möchte.

class TMatrix4x4Float
{ 
//...
void Translate(float x,float y,float z)
{
  TKar_Matrix<KAR_MATH_TYPE> m;
  m.Vektor(3).m_Vec[0]=x;
  m.Vektor(3).m_Vec[1]=y;
  m.Vektor(3).m_Vec[2]=z;
  (*this)*=m;
}
};

Rotate

Das Bewegen auf den 3 Achsen ist allerdings oft nicht ausreichend und deswegen gibt es auch eine Rortations-Matrix. Die Rotations-Matrix wird durch 3 Vektoren beschrieben, welche jeweils für die x,y und z Achse zuständig sind. Man kann die Rotation, der einzelnen Achsen in einem Schritt oder in 3 einzelne Aufteilen. Um die Rotationsmatrix besser zu verstehen werden erst einmal alle Achsen einzeln betrachtet.

Drehen um die Z-Achse

Der Z-Achsen Einheitsvektor(3. Spalte=0.0, 0.0, 1.0, 0.0) bleibt bei der Rotation unverändert - man nehme einen Finger, deute damit nach vorne. Nun drehe man diesen Finger um seine eigene Achse, wohin zeigt er? In die selbe Richtung wie vor der Drehung? Damit entspricht Z-Achsen Einheitsvektor auch der vorletzen Spalte der Matrix: (0.0, 0.0, 1.0, 0.0)

Der X-Achsen Einheitsvektor(1. Spalte=1.0, 0.0, 0.0 0.0) dreht sich hingegen mit. Trigonometrie findet der Lösung Spur. Ein Blick auf das Bild zum Einheitskreis zeigt, dass wir gerade das gleiche Problem für X und Y zu bewältigen haben: Die Rotationsachse ist in beiden Fällen die Z-Achse. Der Einheitsvektor, der gedreht wird, ist der X-Achsen Einheitsvektor also:

x = cos(ß)
y = sin(ß)

womit der Inhalt der ersten Spalte der Matrix kennen: (cos(ß), sin(ß), 0.0, 0.0)

Dies kann man auch auf den Y-Achsen Einheitsvektor(2. Spalte=0.0, 1.0, 0.0, 0.0) übertragen, man muss nur bedenken in welcher weise sich x und y vertauschen:

x = -sin(ß)
y = cos(ß)

So ergibt sich für die zweite Spalte: (-sin(ß), cos(ß), 0.0, 0.0)

Nun kann man die Rotationsmatrix für die Rotation auf der Z-Achse beschreiben, die Matrix findet man am Anfang des Abschnittes.

Drehen um die Y-Achse

Die Berechnung der Matrix wird auf die gleiche weise ermittelt, wie bei der Berechnung der Z-Achsen Rotationsmatrix.

Drehen um die X-Achse

Rotation um alle Achsen mit einer Matrix

Es ist recht aufwändig für die CPU und für den Programmierer immer 3 Rotationen aus zu führen, deswegen hat man diese auch zu einer einzigen Operation zusammen gefasst. Die Matrizen werden einfach miteinander multipliziert und es kommt eine Rotationsmatrix herraus, welche 3 Eingabeparameter benötigt, alpha, beta und gamma sind dabei die Winkel für X-,Y- und Z-Achse.

Eine weitere Möglichkeit, um eine Rotationsmatrix zu erstellen, wäre das nutzen eines Richtungsvektors und einem Winkel. Hierbei wird der Winkel auf den Richtungsvektor angewendet, wenn also man als Vektor (1,0,0) verwendet dann hat man eine Rotation auf der X-Achse, (0,1,0) Y-Achse und (0,0,1) für die Z-Achse. Man kann nun auch Vektoren wie (1,1,1) angeben, wobei die Funktion diesen Vektor dann normalisieren wird, damit er noch auf das Einheitskreis System funktioniert. Dieser Vektor ist nicht equivalent mit dem Rotieren von X-,Y- und Z-Achse nacheinander. Der Vorteil hierbei liegt in der Kompaktheitund des Codes und man kann auf Algorithmen zurück greifen, die vor OpenGL3 entwickelt wurden, da der OpenGL Treiber früher die Rotation über diese Variante Implementiert hatte.

class TMatrix4x4Float
{ 
//...
void Rotiere(float w,float x,float y,float z)
{
  TMatrix4Float m;
  float rad=DegToRad(w);
  float c=cos(rad);
  float ic=1.0-c;
  float s=sin(rad);
  TVector4Float v(x,y,z,0.0);
  float mag=sqrt((v*v).Summe());

  if (mag<=1.0e-4)
    return;

  v.m_Vec[0]=x/mag;
  v.m_Vec[1]=y/mag;
  v.m_Vec[2]=z/mag;

  m.Vektor(0).m_Vec[0]=(v.m_Vec[0]*v.m_Vec[0]*ic)+c;
  m.Vektor(0).m_Vec[1]=(v.m_Vec[0]*v.m_Vec[1]*ic)+(v.m_Vec[2]*s);
  m.Vektor(0).m_Vec[2]=(v.m_Vec[0]*v.m_Vec[2]*ic)-(v.m_Vec[1]*s);

  m.Vektor(1).m_Vec[0]=(v.m_Vec[0]*v.m_Vec[1]*ic)-(v.m_Vec[2]*s);
  m.Vektor(1).m_Vec[1]=(v.m_Vec[1]*v.m_Vec[1]*ic)+c;
  m.Vektor(1).m_Vec[2]=(v.m_Vec[1]*v.m_Vec[2]*ic)+(v.m_Vec[0]*s);

  m.Vektor(2).m_Vec[0]=(v.m_Vec[0]*v.m_Vec[2]*ic)+(v.m_Vec[1]*s);
  m.Vektor(2).m_Vec[1]=(v.m_Vec[1]*v.m_Vec[2]*ic)-(v.m_Vec[0]*s);
  m.Vektor(2).m_Vec[2]=(v.m_Vec[2]*v.m_Vec[2]*ic)+c;

  *this*=m;
}
};

Scale

Die Skalierung ist eine sehr einfache Matrix, in der für die 1, des Einheitsvektors, der entsprechende Skalierungsfaktor angegeben wird. Wenn man die Matrix mit einem Vektor multipliziert, dann werden X,Y und Z des Vektors mit den x,y und z Werten in der Skalierungsmatrix multipliziert und damit skaliert. Wenn man etwas größer machen will, dann wird der Wert entsprechend über 1.0 gewählt, z.B. 2.0 wäre doppelte größe und für verkleinern würde man ein Wert zwischen 1.0 und 0.0 wählen. Der Wert 0.5 würde z.B. eine Division durch 2 bedeuten, also 3*0.5=1.5. Der 4. Einheitsvektor wird belassen, da wir diesen nur als Kompatibilität zu den 4Komponenten Vektoren benötigen.

Vom Vektor zur Bildschirmkoordinate

Auf in den Endspurt! Alle Mathematischen Formeln und Funktionen benötigen wir um die letzten 2 Punkte behandeln zu können. Die Rede ist von der Umwandlung eines Vektors im 3D Raum in den 2D Raum, auf dem Bildschirm. In Rahmen dieses Artikel wird nur auf die Transformation der Vektoren eingegangen und in einem späterem Artikel dann die weiteren Zwischenschritte zum Zeichnen einer Geometrie.

Modelview

Die Modelview kann man sich wie ein 3D Unterraum vorstellen oder einer Transformation des Raumes. Die Modelview sorgt dafür, dass alle Vektoren, die mit dieser Multipliziert werden zu dieser Modelview ausgerichtet werden und die Modelview ist relativ zur Welt ausgerichtet. Dies bedeutet, wenn man für jedes Objekt eine Modelview erzeugt, dann kann dieses Objekt relativ zur Welt ausgerichtet werden, sobald man die Vektoren des Objektes mit der Modelview multipliziert. Wieso richtet man die Vektoren nicht gleich zur Welt aus, statt den Umweg über die Modelview Matrix zu gehen ? Die Antwort ist schlicht "Optimierung". Es wäre zu langsam, wenn man jeden Renderdurchgang jedes einzelne Vertex im Speicher lesen müsste, die neue Position berechnen, im Speicher updaten und in der Pipeline weiter zu arbeiten. Es ist auch Speichereffizienter, da z.B. gleiche Objekte nur einmal in den Speicher abgelegt werden müssen und nur 2 unterschiedliche Modelview Matrizen benötigt werden.

Im rechten Bild kann man 2 aufeinander folgende Befehlsketten sehen, die Transformationen auf ein Objekt ausführen. Dieses Bild soll nocheinmal verdeutlichen, dass das Anwenden von Befehlen, auf eine Modelview Matrix nicht Kommultativ(a*b ist nicht das gleiche wie b*a) ist.

Während vor OpenGL3 die Modelview Matrix von den OpenGL Treibern verwaltet wurde, muss dies ab OpenGL3 vom User gemacht werden und auch das aktualisieren in der Renderpipeline muss nun vom Entwickler übernommen werden, wie dies funktioniert wird in einem späteren Artikel erklärt. Es ist nur noch wichtig zu sagen, dass die GPU diese Matrix mit jeden Vertex multipliziert, der durch dir Renderpipeline geschickt wird.

Normal-Matrix

Die Normal-Matrix wurde vor OpenGL3 als gl_NormalMatrix automatisch berechnet aber mit OpenGL3 ist auch diese aus dem Treiber entfernt worden. Dies hat zufolge, dass man diesen Schritt selber vollziehen muss und aufgrund der Wichtigkeit dieser Matrix sollte man versuchen diese auch zu verinnerlichen. Mit der gl_NormalMatrix kann man ein Normale von dem Texture-Space in den World-Space transformieren. Dies ist wie bei der Multiplikation eines Vertex mit der gl_ModelViewMatrix, nur das die Konstruktion der gl_NormalMatrix andere Anforderungen hat und deswegen zusätzlich generiert wird.

Eine Normale ist ein Vektor, welcher die Länge 1 hat und repräsentiert die Flächenausrichtung. Wenn man ein Dreieck auf der X,Y,Z Achse bewegt, dann hat dies keinen Einfluss auf die Werte einer Normale. Sollte man ein Dreieck aber Rotieren oder Skalieren, dann verändern sich die Werte einer Normale, welcher den Unterschied zwischen gl_NormalMatrix und gl_ModelviewMatrix aus macht. Es gibt einen Spezialfall beim skalieren, sollte die Skalierung aller Dimensionen mit dem gleichen Wert durchgeführt werden, dann ändert sich die Normale nicht. Die gl_NormalMatrix wird errechnet, indem man den Rotationsanteil der Modelview Matrix in eine 3x3 Matrix kopiert, die Inverse errechnet und anschließend die Matrix transponiert.

Um nun die Normale in den World-Space zu transformieren kann man folgende Berechnung anwenden. Normal=normalize(gl_NormalMatrix*gl_Normal); Nach der Multiplikation wird das Ergebnis normalisiert, da eine Normale immer die Länge 1.0 haben muss und durch die Möglichkeit, dass eine Skalierung mit unterschiedlichen Werte auf jeder Achse, dies sonnst nicht gewährleistet wäre. Aufgrund der Normalisierung entsteht der vorher erwähnte Sonderfall, bei dem eine Skalierung mit ein und dem selben Skalar keinen Änderungen zufolge hat.

class TMatrix4x4Float
{
//...
    protected:
        TMatrix3x3Float m_NormalMatrix;
    public:
        TMatrix3x3Float& NormalMatrix()
        {
          TMatrix3x3Float tnmat;
          float d;
          //Kopiere den Rotations- und Skalierungsanteil aus der Modelview Matrix.
          for (unsigned int i=0;i<3;i++)
            for (unsigned int j=0;j<3;j++)
              m_NormalMatrix.Value[i*3+j]=this->Value[i*4+j];

          //Inverse mit Hilfe der Determinante berechnen und Transponieren in einem Schritt(im Fall der Rotationsmatrix
          //ist es nicht wichtig in welcher Reihenfolge Transponieren und Determinieren geschehen.)

          d=Determinant(m_NormalMatrix);
          tnmat[0]=m_NormalMatrix[4]*m_NormalMatrix[8]-m_NormalMatrix[5]*m_NormalMatrix[7];
          tnmat[3]=m_NormalMatrix[5]*m_NormalMatrix[6]-m_NormalMatrix[3]*m_NormalMatrix[8];
          tnmat[6]=m_NormalMatrix[3]*m_NormalMatrix[7]-m_NormalMatrix[4]*m_NormalMatrix[6];

          tnmat[1]=m_NormalMatrix[2]*m_NormalMatrix[7]-m_NormalMatrix[5]*m_NormalMatrix[8];
          tnmat[4]=m_NormalMatrix[0]*m_NormalMatrix[8]-m_NormalMatrix[2]*m_NormalMatrix[6];
          tnmat[7]=m_NormalMatrix[1]*m_NormalMatrix[6]-m_NormalMatrix[1]*m_NormalMatrix[7];

          tnmat[2]=m_NormalMatrix[1]*m_NormalMatrix[5]-m_NormalMatrix[2]*m_NormalMatrix[4];
          tnmat[5]=m_NormalMatrix[2]*m_NormalMatrix[3]-m_NormalMatrix[0]*m_NormalMatrix[5];
          tnmat[8]=m_NormalMatrix[0]*m_NormalMatrix[4]-m_NormalMatrix[1]*m_NormalMatrix[3];

          for (unsigned int i=0;i<3;i++)
            for (unsigned int j=0;j<3;j++)
              m_NormalMatrix[i*3+j]=tnmat[i*3+j]/d;
          return tnmat;
        }

Projectionview

Die Projektions Matrix oder auch Projectionview genannt ist die 2. wichtige Matrix in der Renderpipeline. Diese Matrix macht den ganzen Zauber, der Umwandlung von 3D in 2D erst möglich. Wenn die Vertice mit der Modelview Matrix multipliziert wurden, wird nun das Ergebnis mit der Projektions Matrix multipliziert und wir erhalten Vektoren, dessen X und Y Komponente den Bildischrmpunkten entsprechen. Die 2 am häufigsten genutzten Matrizen sind die Perspektivische- und die Orthogonale Ansicht.

Perspektive

Die Perspektivische Ansicht ist eine drei Dimmensional wirkende Ansicht, welche durch mehrere Faktoren beeinflusst wird.

aspect steht für aspect ratio und beschreibt das Bildverhältnis von Höhe und Breite. Diese ist sehr leicht herraus zu finden, man dividiert einfach die Breite durch die Höhe, wenn man die Renderausgabe von der Bildschirmbreite abhängig machen möchte oder umgekerht, für die Bildschirmhöhe. f kann durch folgende Formel berechnet werden und bestimmt den Blickwinkel, welcher alle x und y Koordinaten zusammen staucht oder auseinander zieht. Dies erkennt man recht schnell, wenn man sich an die Skalierungsmatrix erinnert und das eine Multiplikation mit einem Vektor die x und y Komponenten skaliert.

zNear und zFar sind die Abstände, der Near- und Far-Clipping Plane, zur Kamera. Alle Objekte, die den Raum, zwischen beiden Ebenen nicht schneidet, wird verworfen und der rest durchläuft die restliche Renderpipeline. Die Thematik wird in einem späterem Artikel näher erläutet.

Orthogonal

Die Orthogonale Ansicht ist eine zwei Dimmensionale Ansicht, welche wie die gewöhnlichen Desktopsysteme wirkt. Hierbei werden die Z Koordinaten nicht zur Verschiebung der Bildpunkte, in der Tiefe verwendet.

Mit r, l, b, t, f und n sind der rechte, linke, untere und obere Rand, sowie Distanz der far und near clipping plane, des Bildschirmausschnittes, gemeint. Die far und near clipping plane sind parallel, zum Betrachter, ausgerichtete Ebenen. Alles was zwischen diesen beiden Ebenen liegt wird gezeichnet und alles außerhalb wird in der Pipeline verworfen.

Exkurs in die Optimierung

Vektoren

Man hat oft den Fall, dass man auf der CPU mehrere Werte multiplizieren, dividieren, addieren, subtrahieren muss z.B. bei Bildbearbeitung.

Dieses kann man Optimieren, indem man Vektoren verwendet, dabei wird ein Pixel als Vektor interpretiert und nun kann man alle Farbkanäle mit einen einzigen Aufruf verarbeiten lassen, indem man die Vektoroperationen verwendet. Wenn die Vektoren mit einer CPU Extension wie SSE oder MMX implementiert wurden, dann werden die 4 Komponenten eines Vektors sogar gleichzeitig verarbeitet. Sollte man nur 2 oder 3 Komponenten verwenden, dann füllt man die restlichen Komponenten mit 0 auf bzw. ignoriert sie einfach beim auslesen der Komponenten.

Multiplikation

Die Multiplikation von 2 Vektoren miteinander ist eigentlich nicht definiert, da es wenig Sinn macht aber wir haben nun einen Verwendungszweck gefunden und definieren ihn. Bei dieser Operation gilt das gleiches, wie bei der Addition und Subtraktion, nur mit einem Mulltiplikations Operator. Die Bildverarbeitung wird sich mit mehr Geschwindigkeit bedanken.

class TVector4Float
{
//...
TVector4Float Multiplikation(TVector4Float b)
{
  TVector4Float c;
  for (unsigned int i=0;i<4;i++)
    c.m_Vec[i]=this->m_Vec[i]*b.m_Vec[i];
  return c;
}
};

Division

Bei der Division muss man aufpassen, dass keiner der Element im Divisor 0 ist, da sonnst eine Division mit 0 entsteht. Eine Division mit 0 hat ein Interrupt zufolge, welcher das Programm zum beenden bittet. Also sollte man dies Vorher überprüfen oder bei einer Division den Aufruf mit einer entsprechenden Routine den Fehler abfangen. Sonnst verhält es wie bei der Multiplikation.

class TVector4Float
{
//...
TVector4Float Division(TVector4Float b)
{
  TVector4Float c;
  for (unsigned int i=0;i<4;i++)
    c.m_Vec[i]=this->m_Vec[i]/b.m_Vec[i];
  return c;
}
};

Programmiersprache,Compiler und CPU Extension

Die Optimierung ist von Programmiersprache und Compiler stark abhängig. Wärend Delphi, Freepascal und MS VSC++ Compiler man nur aufwändig SSE,MMX und weitere CPU Extension implementieren kann, hat der GCC eine Vektorextension und seit Version 4.x auch eine Funktionsoptimierung. Die Vektorextension von GCC ist ein Parser Erweiterung, welche einen Typ als ein bestimmten Vektortyp(z.B. Float Länge 4) bestimmt und dann entsprechend alle Operationen in SSE1-4 oder MMX Code umwandelt. Seit Version 4.x gibt es eine Funktionsoptimierung, welche erlaubt im Quellcode mehrere Optimierungen gleichzeitig zu nutzen. Die bedeutet, dass man eine Funktion, wie Vektor.Magnitude() mehrfach implementiert und dann jeweils eine andere Optimierungs Aktiviert. Also Vektor.Magnitude_sse(), Vektor.Magnitude_mmx(),... und dann die jeweilige Funktion mit SSE,MMX oder ohne Optimierung markiert. Der Compiler optimiert dann diese Funktion für die jeweilige CPU Extension und man kann dann im Programmcode entsprechend der gegebenen Hardware auf die beste Mögliche Funktion umlenken. Dies hat den Vorteil, dass man nur noch eine Binary hat und alle CPUs(mehr Kern, ein Kern, Intel Petium1-4, AMD Athlon und so weiter) der gleichen Architektur Optimiert Unterstützen kann. Dies ist ist nützlich, wenn man alte CPUs unterstützen will. Es würde sich also lohnen, wenn man sich viel Ärger und Code sparen will, den Code in GCC als Bibliothek zu implementieren und statisch oder dynamisch zu linken.

Templates und Generics

Eine Optimierung die sich bei C++ stark auswirkt sind Templates, da diese die Eigenschaft aufweisen vom Compiler generiert zu werden. Dies bedeutet je nach Qualität des Compilers kann dieser Code starke Performanceschübe bekommen, wenn man die Operationen in Templates verpackt, da der Compiler oft Optimierungen machen kann, die man selber nicht kennt oder gar nicht machen will(Kompatibilität und Übersichtlichkeit). Templates entrollen z.B. konstante For Schleifen und wie schon vorher in den Codeschnipseln zu sehen war, haben wir davon einige in den Vektor Operationen. Das Entrollen von Schleifen entfernt eine menge Balast(Counter,Prüfung,..) welche sich auf die Performance auswirkt. Templates reduziert den Codeaufwand, da man viele weitere Implementierungen einspart(Vektor von Typ float, int, unsigned short, unsigned int, double, ...).

Testen testen testen

Wenn man Performance Test macht, dann sollte man verschiedene Test machen und einer der teilweise oft unterschätzt wird ist der Create und Free Test. Sobald man eine Klasse benutzt wird beim erstellen des Objektes immer ein Speicher alloziert und dann der Konstruktor aufgerufen, was Zeit kostet. Man sollte also einmal ein Test durchführen, der Vektoren und Matrizen erstellt und zerstört. Die Operation Test sollten die Vektoren und Matrizen vorher erstellen und in der Schleife wiederverwendet werden und nach beenden des Performance Trackings erst zerstört werden.