Vektorprodukt: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Das Vektorprodukt ( | + | Das Vektorprodukt (Vektorkreuzprodukt, Kreuzprodukt) wird eingesetzt, um einen Vektor zu finden, der senkrecht zu zwei bekannten Vektoren steht. Diese Vektoren können z.B. zwei Richtungen entlang eines Dreiecks sein, woraus man dann die Flächen[[Normalen|normale]] des Dreiecks berechnen kann, was zur Berechnung von [[Beleuchtung|Licht]]effekten wichtig ist. Zusätzlich kann man damit Flächeninhalte berechnen. |
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| − | # a& | + | # a⨯b steht senkrecht zu a und zu b, also a•(a⨯b) = b•(a⨯b) = 0, wo "•" für das [[Standard Skalarprodukt]] steht. |
| − | # a,b, a& | + | # a,b, a⨯b bilden ein Rechtssystem, d.h. stellt man die Vektoren mit den Fingern in der richtigen Reihenfolge dar, so benötigt man die rechte Hand (Daumen, Zeigefinger, Mittelfinger) und nicht die linke Hand. |
| − | # ||a& | + | # ||a⨯b||=||a||*||b||*sin(φ) (0 ≤ φ ≤ π) ( Wird zur Berechnung der Parallelogrammfläche genutzt. Durch Halbierung erhält man die Dreiecksfläche. ) |
Für a=(a<sub>1</sub>;a<sub>2</sub>;a<sub>3</sub>), b=(b<sub>1</sub>;b<sub>2</sub>;b<sub>3</sub>) berechnet sich das Vektorprodukt durch: | Für a=(a<sub>1</sub>;a<sub>2</sub>;a<sub>3</sub>), b=(b<sub>1</sub>;b<sub>2</sub>;b<sub>3</sub>) berechnet sich das Vektorprodukt durch: | ||
a<sub>2</sub>*b<sub>3</sub> - a<sub>3</sub>*b<sub>2</sub> | a<sub>2</sub>*b<sub>3</sub> - a<sub>3</sub>*b<sub>2</sub> | ||
| − | a& | + | a⨯b = a<sub>3</sub>*b<sub>1</sub> - a<sub>1</sub>*b<sub>3</sub> |
a<sub>1</sub>*b<sub>2</sub> - a<sub>2</sub>*b<sub>1</sub> | a<sub>1</sub>*b<sub>2</sub> - a<sub>2</sub>*b<sub>1</sub> | ||
| − | Die drei Zeilen stehen hier natürlich für die drei Komponenten des Vektors a& | + | Die drei Zeilen stehen hier natürlich für die drei Komponenten des Vektors a⨯b. |
=== Rechenregeln === | === Rechenregeln === | ||
Es gilt: | Es gilt: | ||
| − | * b& | + | * b⨯a = - (a⨯b) |
* Linearität: | * Linearität: | ||
| − | λ*(a& | + | λ*(a⨯b) = (λ*a)⨯b = a⨯(λ*b) (λ reel) |
| − | (a+c)& | + | (a+c)⨯b = a⨯b + c⨯b |
| − | a& | + | a⨯(b+c) = -(b+c)⨯a = -(b⨯a + c⨯a) = a⨯b + a⨯c |
=== Siehe Auch === | === Siehe Auch === | ||
| − | [[Normalen]], [[ | + | [[Normalen]], [[Standardskalarprodukt]] |
Version vom 22. Januar 2011, 19:05 Uhr
Inhaltsverzeichnis
Vektorprodukt
Übersicht
Das Vektorprodukt (Vektorkreuzprodukt, Kreuzprodukt) wird eingesetzt, um einen Vektor zu finden, der senkrecht zu zwei bekannten Vektoren steht. Diese Vektoren können z.B. zwei Richtungen entlang eines Dreiecks sein, woraus man dann die Flächennormale des Dreiecks berechnen kann, was zur Berechnung von Lichteffekten wichtig ist. Zusätzlich kann man damit Flächeninhalte berechnen.
Definition
Das eindeutige Vektorprodukt a⨯b zweier Vektoren (a,b) ist definiert durch:
- a⨯b steht senkrecht zu a und zu b, also a•(a⨯b) = b•(a⨯b) = 0, wo "•" für das Standard Skalarprodukt steht.
- a,b, a⨯b bilden ein Rechtssystem, d.h. stellt man die Vektoren mit den Fingern in der richtigen Reihenfolge dar, so benötigt man die rechte Hand (Daumen, Zeigefinger, Mittelfinger) und nicht die linke Hand.
- ||a⨯b||=||a||*||b||*sin(φ) (0 ≤ φ ≤ π) ( Wird zur Berechnung der Parallelogrammfläche genutzt. Durch Halbierung erhält man die Dreiecksfläche. )
Für a=(a1;a2;a3), b=(b1;b2;b3) berechnet sich das Vektorprodukt durch:
a2*b3 - a3*b2
a⨯b = a3*b1 - a1*b3
a1*b2 - a2*b1
Die drei Zeilen stehen hier natürlich für die drei Komponenten des Vektors a⨯b.
Rechenregeln
Es gilt:
- b⨯a = - (a⨯b)
- Linearität:
λ*(a⨯b) = (λ*a)⨯b = a⨯(λ*b) (λ reel) (a+c)⨯b = a⨯b + c⨯b a⨯(b+c) = -(b+c)⨯a = -(b⨯a + c⨯a) = a⨯b + a⨯c
