Geometrie durch Kurven: Unterschied zwischen den Versionen
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Aktuelle Version vom 18. Mai 2018, 20:11 Uhr
Inhaltsverzeichnis
Geometrie durch Kurven
Die Geometrie vieler kurvenförmiger Objekte lässt sich leicht erzeugen, wenn man eine Kurve kennt, die an ihnen entlang führt. Man hat also eine Funktion φ entlang eines Intervalles I=[a,e] in R3:
φ: I -> R3
Ist ihre 1. und 2. Ableitung ungleich Null, so kann man sehr leicht ein geometrisches Objekt erzeugen, denn d/dt φ(t) ist senkrecht zu d2/dt2 φ(t) und d/dt φ(t) zeigt tangential zur Kurve. Mithilfe des Kreuzprodukts erhält man so ein begleitendes Dreibein.
int lengthsegments, int slicesegments;
private void ConstructCurve() {
Vertices = new Vertex[lengthsegments + 1, slicesegments + 1];
Normals = new Vertex[lengthsegments + 1, slicesegments + 1];
int i, j;
double t;
Vertex[] Basis = new Vertex[3];
Vertex v = new Vertex();
for (i = 0; i <= lengthsegments; i++)
{
t = ((e-a) / (double)lengthsegments) * (double)i + a;
v = Phi(t);
Basis[0] = (dPhi(t)/dt) //1. Ableitung
Basis[0] = Basis[0].Normalize();
Basis[1] = (d^2Phi(t)/dt^2) //2. Ableitung
Basis[1] = Basis[1].Normalize();
Basis[2] = Basis[0] % Basis[1]; //% ist das Kreuzprodukt
//Die Basis ist nun das Mitlaufende Dreibein des Knotens
for (j = 0; j <= slicesegments; j++)
{
double mu = 1.0/(double) slicesegments *2.0*Math.PI * j;
Normals[i,j] = Math.Sin(mu)*Basis[1] +
Math.Cos(mu)*Basis[2];
Vertices[i,j] = tuberadius * Normals[i,j] + v;
}
}
}
public override void RenderCurve()
{
int i, j;
for (i = 0; i < lengthsegments; i++)
{
gl.Begin(gl.TRIANGLE_STRIP);
for (j = 0; j <= slicesegments; j++) {
gl.Normal3d(Normals[i, j].x, Normals[i, j].y, Normals[i, j].z);
gl.Vertex3d(Vertices[i, j].x, Vertices[i, j].y, Vertices[i, j].z);
gl.Normal3d(Normals[i + 1, j].x, Normals[i + 1, j].y, Normals[i + 1, j].z);
gl.Vertex3d(Vertices[i + 1, j].x, Vertices[i + 1, j].y, Vertices[i + 1, j].z);
}
gl.End();
}
}
Beispiele
Torus
I := [0,2*π] φ(t) = (r*cos(t); r*sin(t); 0)
(p,q) Torus Knoten
I := [0,2*π]
p,q teilerfremd
φ(t) = ((R + r * Math.Cos(p * t)) * Math.Cos(q * t);
(R + r * Math.Cos(p * t)) * Math.Sin(q * t);
r * Math.Sin(p*t))
