Floyd Warshall: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Der Graph darf negative Kanten enthalten aber Vorraussetzung ist, dass '''keine negativen Kreise''' im Graph enthalten sind. | + | Der Graph darf negative Kanten enthalten, aber Vorraussetzung ist, dass '''keine negativen Kreise''' im Graph enthalten sind (d.h. Kreise die negative Kosten verursachen). |
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Der Zeilenindex stellt den Startknoten dar, der Spaltenindex den Zielknoten. | Der Zeilenindex stellt den Startknoten dar, der Spaltenindex den Zielknoten. | ||
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T[1..n][1..n] of integer; //n = Anzahl der Knoten | T[1..n][1..n] of integer; //n = Anzahl der Knoten | ||
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T[i][j] = Kosten(i nach j); | T[i][j] = Kosten(i nach j); | ||
| − | //Eigentliches | + | //Eigentliches Bestimmen der kürzesten Wege |
| − | for z := 1 to n do //z = | + | for z := 1 to n do //z = Zwischenknoten |
| − | for i := 1 to n do //i = | + | for i := 1 to n do //i = Startknoten |
for j := 1 to n do //j = Zielknoten | for j := 1 to n do //j = Zielknoten | ||
if (T[i][z] + T[z][j]) < T[i][j]) then //"Wenn der Weg über den Zwischenknoten z besser ist | if (T[i][z] + T[z][j]) < T[i][j]) then //"Wenn der Weg über den Zwischenknoten z besser ist | ||
T[i][j] := T[i][z] + T[z][j]; // als der direkte, nimm diesen Weg." | T[i][j] := T[i][z] + T[z][j]; // als der direkte, nimm diesen Weg." | ||
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| − | Falls auf der Hauptdiagonale irgendwann ein Wert kleiner 0 steht hat man einen negativen Kreis gefunden. Dadurch ist nicht mehr sichergestellt, dass die Ergebnisse korrekt sind. | + | Falls auf der Hauptdiagonale irgendwann ein Wert kleiner 0 steht, dann hat man einen negativen Kreis gefunden. Dadurch ist nicht mehr sichergestellt, dass die Ergebnisse korrekt sind. |
| − | Am Ende des Algorithmus stehen in T[i][j] die minimalen Kosten um von i nach j zu kommen. | + | Am Ende des Algorithmus stehen in T[i][j] die minimalen Kosten, um von i nach j zu kommen. |
| − | Steht in T[i][j] der Maximalwert (siehe Initialisierung) ist j von i aus nicht erreichbar. | + | Steht in T[i][j] der Maximalwert (siehe Initialisierung), ist j von i aus nicht erreichbar. |
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'''Vorteile:''' | '''Vorteile:''' | ||
*Der Algorithmus findet die minimalen Kosten von '''allen''' Wegen im Graph. | *Der Algorithmus findet die minimalen Kosten von '''allen''' Wegen im Graph. | ||
| − | *Der Algorithmus ist deshalb besonders geeignet um die kürzesten Wege in statischen Netzwerken zu finden, da er nur einmal ausgeführt werden muss. | + | *Der Algorithmus ist deshalb besonders geeignet, um die kürzesten Wege in statischen Netzwerken zu finden, da er nur einmal ausgeführt werden muss. |
'''Nachteile:''' | '''Nachteile:''' | ||
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*Mit einer '''Laufzeit von [[O-Notation|O]](n³)''' ist er nicht besonders schnell. | *Mit einer '''Laufzeit von [[O-Notation|O]](n³)''' ist er nicht besonders schnell. | ||
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Aktuelle Version vom 10. März 2009, 19:04 Uhr
Inhaltsverzeichnis
Floyd-Warshall
Eigenschaften
Der Floyd-Warshall-Algorithmus (benannt nach Robert Floyd und Stephen Warshall) findet nicht nur den kürzesten Weg von einer Position zu einer anderen, sondern bestimmt alle kürzesten Wege von jedem Punkt zu jedem anderen.
Der Graph darf negative Kanten enthalten, aber Vorraussetzung ist, dass keine negativen Kreise im Graph enthalten sind (d.h. Kreise die negative Kosten verursachen).
Algorithmus
Der Algorithmus basiert auf einer (Adjazenz-)Matrix. Die Knoten des Graphen werden als Index verwendet. Der Zeilenindex stellt den Startknoten dar, der Spaltenindex den Zielknoten.
T[1..n][1..n] of integer; //n = Anzahl der Knoten
//Initialisierung
Matrix mit Maximalwert initialisieren.
Hauptdiagonale mit 0 initialisieren
for i := 1 to n do
for each Nachbar j von i do
T[i][j] = Kosten(i nach j);
//Eigentliches Bestimmen der kürzesten Wege
for z := 1 to n do //z = Zwischenknoten
for i := 1 to n do //i = Startknoten
for j := 1 to n do //j = Zielknoten
if (T[i][z] + T[z][j]) < T[i][j]) then //"Wenn der Weg über den Zwischenknoten z besser ist
T[i][j] := T[i][z] + T[z][j]; // als der direkte, nimm diesen Weg."
Falls auf der Hauptdiagonale irgendwann ein Wert kleiner 0 steht, dann hat man einen negativen Kreis gefunden. Dadurch ist nicht mehr sichergestellt, dass die Ergebnisse korrekt sind.
Am Ende des Algorithmus stehen in T[i][j] die minimalen Kosten, um von i nach j zu kommen. Steht in T[i][j] der Maximalwert (siehe Initialisierung), ist j von i aus nicht erreichbar.
Kritik
Vorteile:
- Der Algorithmus findet die minimalen Kosten von allen Wegen im Graph.
- Der Algorithmus ist deshalb besonders geeignet, um die kürzesten Wege in statischen Netzwerken zu finden, da er nur einmal ausgeführt werden muss.
Nachteile:
