Quaternion: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 17. Februar 2007, 10:20 Uhr

Hamiltonsche Quaternionen

Übersicht

Quaternionen bilden ein 4D-Zahlensystem ähnlich dem 2D-Zahlensystem der Komplexen Zahlen, jedoch sind sie bei der Multiplikation nicht kommutativ ( d.h. für Quaternionen q1, q2 gilt nicht immer: q1*q2 = q2*q1 ). Sie werden häufig zur Darstellung und einfachen Berechnung von Isometrien (Drehungen) im 3D-Raum verwendet, wobei sie hier deutlich anschaulicher sind als unitäre Matrizen (Rotationsmatrizen).

Definition

Ein Quaternion q hat folgende, eindeutige Gestalt:

q = a + b*i + c*j + d*k,

wobei a, b, c, d reele Zahlen darstellen und i, j, k Imaginäre Zahlen mit den Eigenschaften:

i*i=j*j=k*k=-1
i*j = k = -j*i
j*k = i = -k*j
k*i = j = -i*k

Die Quaternionen H bilden also einen 4-Dimensionalen Raum in den Komponenten a, b, c, d. Man trennt dabei häufig den 3D-Raum der reinen Quaternionen V der Form v = b*i + c*j + d*k heraus.

Grundlegende Arithmetik

Addition

Die Addition zweier Quaternionen geschieht komponentenweise, also:

q = a + bi+ cj + dk
r = e + fi+ gj + hk
q + r = (a + e) + (b + f)i + (c + g)j + (d + h)k

Multiplikation

Die Multiplikation zweier Quaternionen geschieht wie auf den reelen Zahlen gewohnt mit gedachten Variablen i, j, k, wobei die oben definierten Eigenschaften zum Einsatz kommen:

q*r = (a + bi+ cj + dk)*(e + fi+ gj + hk) =
    = ae + afi + agj + ahk  
      + bie + bifi + bigj + bihk
      + cje + cjfi + cjgj + cjhk
      + dke + dkfi + dkgj + dkhk
    = (a * e - b * f  - c * g - d * h)
      + (a * f + b * e + c * h - d * g)i
      + (a * g - b * h + c * e + d * f)j
      + (a * h + b * g - c * f + d * e)k 

Man beachte im Allgemeinen: q*r <> r*q !

Konjugation

Die Konjugation ist definiert durch:

konj(q) = a - bi - cj - dk,

also die Inversion des Vorzeichens der Imaginären Anteile i, j, k. Es lässt sich leicht zeigen, dass gilt:

konj(konj(q)) = q
konj(q*p) = konj(p)* konj(q)
konj(q + p) = konj(q) + konj(p)

Norm / Betrag

Die Norm ||q|| eines Quaternions Q ist definiert als:

 ||q|| = Sqrt(a*a + b*b + c*c + d*d) = Sqrt(q*konj(q))

Inversion

Mit den obigen Funktionen lässt sich sehr leicht ein Quaternion h zu q berechnen, so dass gilt: h*q=q*h=1, denn:

||q||^2 = q * konj(q)
<=> 
1 = (q * konj(q)) / ||q||2
h := konj(q) / ||q||2
=> 1 = q * h

Und weil offensichtlich ||q|| = ||konj(q)|| gilt, folgt

||q||2 = ||konj(q)||2 = konj(q)*konj(konj(q)) = konj(q)*q

Und damit:

1 = h * q.

h ist also das multiplikativ invers zu q: h = q^-1

Injektion der Reelen und Komplexen Zahlen

Die reellen Zahlen lassen sich injektiv in die Quaternionen abbilden:

x -> x + 0*i + 0*j + 0*k

Entsprechend für die komplexen Zahlen:

x + y*i -> x+ y*i + 0*j + 0*k

Die zugehörigen Rechenregeln bleiben dabei erhalten.

Isometrien auf Quaternionen

Isometrien auf H

Die Isometrien der Quaternionen auf sich selbst (also die Isometrien des 4D-Raumes) lassen sich in Quaternionen beschreiben durch zwei Quaternionen P,Q, mit ||P||=||Q|| = 1 und den Abbildungen

φ(P,Q,.): H -> H,
x -> φ(P,Q,x) := P*x*konj(Q) = P*x*Q-1

ψ(P,Q,.): H -> H
x -> ψ(P,Q,x) := P*konj(x)*konj(Q) = P*konj(x)*Q-1

Dabei gilt für Quaternionen P',Q' mit ||P'||=||Q'||=1:

φ(P,Q,φ(P',Q',.)) = φ(P*P',Q*Q',.)
φ(P,Q,ψ(P',Q',.)) = ψ(P*P',Q*Q',.)

ψ(P,Q,ψ(P',Q',.)) = φ(P*Q',Q*P',.)
ψ(P,Q,φ(P',Q',.)) = ψ(P*Q',Q*P',.),

was man ohne weiteres ausrechnen kann.

Isometrien auf V

Der Fall der Isometrien auf den reinen Quaternionen V (siehe Definition) ist der für die 3D Grafik interessante Fall. Sie stellen die Rotationen auf V dar und das in einer besonders leicht lesbaren Form. Sei also Q eine Quaternion der Norm 1, dann gehört dazu eine Isometrie auf V:

φ(Q,.): V -> V
x -> φ(Q,x) := φ(Q,Q,x) = Q*x*konj(Q) = Q*x*Q-1,

wobei offensichtlich φ(-Q,.) = φ(Q,.), Q und -Q beschreiben also die selbe Drehung. Und entsprechnd der Rechenregeln für φ auf H (siehe oben) gilt mit einem Quaternion Q' mit ||Q'||=1:

φ(Q, φ(Q', x)) = Q*Q'*x*konj(Q')*konj(Q) = (Q*Q')*x*konj(Q*Q') = φ(Q*Q',x)

Man kann Q sehr leicht zerlegen in:

Q = cos(α) + sin(α)*P, 0<=α<=π, P aus V, ||P|| = 1,

wobei dann φ(Q,x) eine Drehung von x (man beachte, dass dabei x aus V ist) um den Winkel 2*α um die Achse P darstellt.

Einige Implementationsdetails

Am besten speichert man ein Quaternion duch speichern der 4 Komponenten in einem Array (Reihenfolge: realteil, i, j, k - Komponente, bzw. a,b,c,d):

    public sealed class Quaternion : ILinearTransformation
    {
        private double[] coords = new double[4];

Ein besonders spannender Konstruktor für Quaternion ist der, der "rotations-Quaternionen" erstellt. Übergeben wird also ein Vektor, der die Drehachse beschreibt, sowie ein passender Winkel:

        public Quaternion(double alpha, Vertex3 rotAxis)
        {
            alpha = (2.0*Math.PI/(360.0*2.0))* alpha;

            coords[0] = 1.0;
            if (rotAxis.Magnitude < double.Epsilon)
                return;
            
            rotAxis.Normalize();
            double c = Math.Cos(alpha), s = Math.Sin(alpha);
            coords[0] = c; coords[1] = rotAxis[0] * s;
            coords[2] = rotAxis[1] * s; coords[3] = rotAxis[2] * s;
        }

Ausserdem sollte man die wesentlichen Operationen implementeiren, etwa:

        public Quaternion Conjugate()
        {
            return new Quaternion(coords[0], -coords[1], -coords[2], -coords[3]);
        }
 ...
        public static Quaternion Multiply(Quaternion q1, Quaternion q2)
        {
            if (q1 == null) throw new ArgumentNullException("q1");
            if (q2 == null) throw new ArgumentNullException("q2");
            Quaternion result = new Quaternion();
            result.coords[0] = q1.coords[0] * q2.coords[0]
                                - q1.coords[1] * q2.coords[1]
                                - q1.coords[2] * q2.coords[2]
                                - q1.coords[3] * q2.coords[3];
            result.coords[1] = q1.coords[0] * q2.coords[1]
                                + q1.coords[1] * q2.coords[0]
                                + q1.coords[2] * q2.coords[3]
                                - q1.coords[3] * q2.coords[2];
            result.coords[2] = q1.coords[0] * q2.coords[2]
                                - q1.coords[1] * q2.coords[3]
                                + q1.coords[2] * q2.coords[0]
                                + q1.coords[3] * q2.coords[1];
            result.coords[3] = q1.coords[0] * q2.coords[3]
                                + q1.coords[1] * q2.coords[2]
                                - q1.coords[2] * q2.coords[1]
                                + q1.coords[3] * q2.coords[0];
            return result;
        }
 ...
        public Quaternion Inverse()
        {
            double mag = Magnitude;
            mag = mag * mag;
            if (mag == 0.0) return null;
            return Conjugate().Scale(1.0 / mag);
        }

Besonders spannend ist sicherlich auch das Anwenden eines Rotations-Quaternions auf ein Vertex. Diese Funktion entsteht, wenn man die oben genannte Funktion φ explizit aufschreibt und ausrechnet. Es ergibt sich dabei eine wenig spannende, aber sehr ausladende Rechnung, um am Ende alles richtig ausmultipliziert und nach komponente sortiert zu haben (nicht vergessen: man darf dabei nur reele Zahlen miteinander Tauschen, sowie reele Zahlen mit i,j,k. i,j,k aber nie miteinander, sonst stimmen die Vorzeichen nicht! Die Quaternion-Multiplikation war nicht kommutativ):

        public Vertex3 Apply(Vertex3 v)
        {
            Vertex3 result = new Vertex3();
            double v0 = v[0];
            double v1 = v[1];
            double v2 = v[2];
            double a00 = coords[0] * coords[0];
            double a01 = coords[0] * coords[1];
            double a02 = coords[0] * coords[2];
            double a03 = coords[0] * coords[3];
            double a11 = coords[1] * coords[1];
            double a12 = coords[1] * coords[2];
            double a13 = coords[1] * coords[3];
            double a22 = coords[2] * coords[2];
            double a23 = coords[2] * coords[3];
            double a33 = coords[3] * coords[3];
            result[0] = v0 * (+a00 + a11 - a22 - a33) 
                + 2 * (a12 * v1 + a13 * v2 + a02 * v2 - a03 * v1);
            result[1] = v1 * (+a00 - a11 + a22 - a33) 
                + 2 * (a12 * v0 + a23 * v2 + a03 * v0 - a01 * v2);
            result[2] = v2 * (+a00 - a11 - a22 + a33) 
                + 2 * (a13 * v0 + a23 * v1 - a02 * v0 + a01 * v1);
            return result;
        }