Vektorprodukt - Versionsgeschichte

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== Vektorprodukt ==
=== Übersicht ===
Das Vektorprodukt (Vektrorkreuzprodukt, Kreuzprodukt) wird eingesetzt, um einen Vektor zu finden, der Senkrecht zu 2 bekannten Vektoren steht. Diese Vektoren können z.B. 2 Richtungen entlang eines Dreiecks sein, um so die [[Normalen|Normale]] des Dreiecks berechnen zu können, was beim berechnen von [[Beleuchtung|Licht] wichtig ist. Zusätzlich kann man damit Flächeninhalte berechnen.

=== Definition ===
Das eindeutige Vektorprodukt aXb zweier Vektoren (a,b) ist definiert durch:
[[Bild:Vektorprodukt.jpg|right|Vektorprodukt]]
# aXb steht senkrecht zu a und zu b, also a.(aXb) = b.(axb) = 0, wo "." für das [[Standard Skalarprodukt]] steht.
# a,b, aXb bilden ein Rechtssystem, d.h. stellt man die Vektoren mit den Fingern in der richtigen Reihenfolge dar, so benötigt man die rechte Hand (Daumen, Zeigefinger, Mittelfinger) und nicht die linke Hand.
# ||aXb||=||a||*||b||*sin(Phi) (0 ≤ Phi ≤ Pi) ( Wird zur Berechnung der Parallelogrammfläche genutzt. Durch halbierung erhält man die Dreiecksfläche. )

Für a=(a1;a2;a3), b=(b1;b2;b3) berechnet sich das Vektorprodukt durch:
a2*b3 - a3*b2
aXb = a3*b1 - a1*b3
a1*b2 - a2*b1
Die drei Zeilen stehen hier natürlich für die drei Komponenten des Vektors aXb.

=== Rechenregeln ===
Es gilt:
* bXa = - (aXb)
* Linearität:
lambda*(aXb) = (lambda*a)Xb = aX(lambda*b) (lambda reel)
(a+c)Xb = aXb + cXb
aX(b+c) = -(b+c)Xa = -(bXa + cXa) = aXb + aXc
=== Siehe Auch ===
[[Normalen]], [[Standard Skalarprodukt]]

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 Das eindeutige Vektorprodukt a&#10799;b zweier Vektoren (a,b) ist definiert durch:
 [[Bild:Vektorprodukt.jpg|right|Vektorprodukt]]
-# a&#10799;b steht senkrecht zu a und zu b, also a&bull;(a&#10799;b) = b&bull;(a&#10799;b) = 0, wo "&bull;" für das [[Standard Skalarprodukt]] steht.
+# a&#10799;b steht senkrecht zu a und zu b, also a&bull;(a&#10799;b) = b&bull;(a&#10799;b) = 0, wo "&bull;" für das [[Standardskalarprodukt]] steht.
 # a,b, a&#10799;b bilden ein Rechtssystem, d.h. stellt man die Vektoren mit den Fingern in der richtigen Reihenfolge dar, so benötigt man die rechte Hand (Daumen, Zeigefinger, Mittelfinger) und nicht die linke Hand.
 # ||a&#10799;b||=||a||*||b||*sin(&phi;) (0 &le; &phi; &le; &pi;) ( Wird zur Berechnung der Parallelogrammfläche genutzt. Durch Halbierung erhält man die Dreiecksfläche. )

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 == Vektorprodukt ==
 === Übersicht ===
-Das Vektorprodukt (Vektrorkreuzprodukt, Kreuzprodukt) wird eingesetzt, um einen Vektor zu finden, der senkrecht zu 2 bekannten Vektoren steht. Diese Vektoren können z.B. 2 Richtungen entlang eines Dreiecks sein, woraus man dann die Flächen-[[Normalen|Normale]] des Dreiecks berechnen kann, was zur Berechnung von [[Beleuchtung|Licht]]-Effekten wichtig ist. Zusätzlich kann man damit Flächeninhalte berechnen.
+Das Vektorprodukt (Vektorkreuzprodukt, Kreuzprodukt) wird eingesetzt, um einen Vektor zu finden, der senkrecht zu zwei bekannten Vektoren steht. Diese Vektoren können z.B. zwei Richtungen entlang eines Dreiecks sein, woraus man dann die Flächen[[Normalen|normale]] des Dreiecks berechnen kann, was zur Berechnung von [[Beleuchtung|Licht]]effekten wichtig ist. Zusätzlich kann man damit Flächeninhalte berechnen.
 === Definition ===
-Das eindeutige Vektorprodukt a&chi;b zweier Vektoren (a,b) ist definiert durch:
+Das eindeutige Vektorprodukt a&#10799;b zweier Vektoren (a,b) ist definiert durch:
 [[Bild:Vektorprodukt.jpg|right|Vektorprodukt]]
-# a&chi;b steht senkrecht zu a und zu b, also a&bull;(a&chi;b) = b&bull;(a&chi;b) = 0, wo "&bull;" für das [[Standard Skalarprodukt]] steht.
+# a&#10799;b steht senkrecht zu a und zu b, also a&bull;(a&#10799;b) = b&bull;(a&#10799;b) = 0, wo "&bull;" für das [[Standard Skalarprodukt]] steht.
-# a,b, a&chi;b bilden ein Rechtssystem, d.h. stellt man die Vektoren mit den Fingern in der richtigen Reihenfolge dar, so benötigt man die rechte Hand (Daumen, Zeigefinger, Mittelfinger) und nicht die linke Hand.
+# a,b, a&#10799;b bilden ein Rechtssystem, d.h. stellt man die Vektoren mit den Fingern in der richtigen Reihenfolge dar, so benötigt man die rechte Hand (Daumen, Zeigefinger, Mittelfinger) und nicht die linke Hand.
-# ||a&chi;b||=||a||*||b||*sin(&phi;) (0 &le; &phi; &le; &pi;) ( Wird zur Berechnung der Parallelogrammfläche genutzt. Durch Halbierung erhält man die Dreiecksfläche. )
+# ||a&#10799;b||=||a||*||b||*sin(&phi;) (0 &le; &phi; &le; &pi;) ( Wird zur Berechnung der Parallelogrammfläche genutzt. Durch Halbierung erhält man die Dreiecksfläche. )
 Für a=(a<sub>1</sub>;a<sub>2</sub>;a<sub>3</sub>), b=(b<sub>1</sub>;b<sub>2</sub>;b<sub>3</sub>) berechnet sich das Vektorprodukt durch:
         a<sub>2</sub>*b<sub>3</sub> - a<sub>3</sub>*b<sub>2</sub>
-  a&chi;b = a<sub>3</sub>*b<sub>1</sub> - a<sub>1</sub>*b<sub>3</sub>
+  a&#10799;b = a<sub>3</sub>*b<sub>1</sub> - a<sub>1</sub>*b<sub>3</sub>
         a<sub>1</sub>*b<sub>2</sub> - a<sub>2</sub>*b<sub>1</sub>
-Die drei Zeilen stehen hier natürlich für die drei Komponenten des Vektors a&chi;b.
+Die drei Zeilen stehen hier natürlich für die drei Komponenten des Vektors a&#10799;b.
 === Rechenregeln ===
 Es gilt:
-* b&chi;a = - (a&chi;b)
+* b&#10799;a = - (a&#10799;b)
 * Linearität:
-  &lambda;*(a&chi;b) = (&lambda;*a)&chi;b = a&chi;(&lambda;*b) (&lambda; reel)
+  &lambda;*(a&#10799;b) = (&lambda;*a)&#10799;b = a&#10799;(&lambda;*b) (&lambda; reel)
-  (a+c)&chi;b = a&chi;b + c&chi;b
+  (a+c)&#10799;b = a&#10799;b + c&#10799;b
-  a&chi;(b+c) = -(b+c)&chi;a = -(b&chi;a + c&chi;a) = a&chi;b + a&chi;c
+  a&#10799;(b+c) = -(b+c)&#10799;a = -(b&#10799;a + c&#10799;a) = a&#10799;b + a&#10799;c
 === Siehe Auch ===
-[[Normalen]], [[Standard Skalarprodukt]]
+[[Normalen]], [[Standardskalarprodukt]]

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 == Vektorprodukt ==
 === Übersicht ===
-Das Vektorprodukt (Vektrorkreuzprodukt, Kreuzprodukt) wird eingesetzt, um einen Vektor zu finden, der Senkrecht zu 2 bekannten Vektoren steht. Diese Vektoren können z.B. 2 Richtungen entlang eines Dreiecks sein, um so die [[Normalen|Normale]] des Dreiecks berechnen zu können, was zur Berechnung von [[Beleuchtung|Licht]] wichtig ist. Zusätzlich kann man damit Flächeninhalte berechnen.
+Das Vektorprodukt (Vektrorkreuzprodukt, Kreuzprodukt) wird eingesetzt, um einen Vektor zu finden, der senkrecht zu 2 bekannten Vektoren steht. Diese Vektoren können z.B. 2 Richtungen entlang eines Dreiecks sein, woraus man dann die Flächen-[[Normalen|Normale]] des Dreiecks berechnen kann, was zur Berechnung von [[Beleuchtungs|Licht]]-Effekten wichtig ist. Zusätzlich kann man damit Flächeninhalte berechnen.
 === Definition ===
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 # a&chi;b steht senkrecht zu a und zu b, also a&bull;(a&chi;b) = b&bull;(a&chi;b) = 0, wo "&bull;" für das [[Standard Skalarprodukt]] steht.
 # a,b, a&chi;b bilden ein Rechtssystem, d.h. stellt man die Vektoren mit den Fingern in der richtigen Reihenfolge dar, so benötigt man die rechte Hand (Daumen, Zeigefinger, Mittelfinger) und nicht die linke Hand.
-# ||a&chi;b||=||a||*||b||*sin(&phi;) (0 &le; &phi; &le; &pi;) ( Wird zur Berechnung der Parallelogrammfläche genutzt. Durch halbierung erhält man die Dreiecksfläche. )
+# ||a&chi;b||=||a||*||b||*sin(&phi;) (0 &le; &phi; &le; &pi;) ( Wird zur Berechnung der Parallelogrammfläche genutzt. Durch Halbierung erhält man die Dreiecksfläche. )
 Für a=(a<sub>1</sub>;a<sub>2</sub>;a<sub>3</sub>), b=(b<sub>1</sub>;b<sub>2</sub>;b<sub>3</sub>) berechnet sich das Vektorprodukt durch:

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 * b&chi;a = - (a&chi;b)
 * Linearität:
-  lambda*(a&chi;b) = (lambda*a)&chi;b = a&chi;(lambda*b) (lambda reel)
+  &lambda;*(a&chi;b) = (&lambda;*a)&chi;b = a&chi;(&lambda;*b) (&lambda; reel)
   (a+c)&chi;b = a&chi;b + c&chi;b
   a&chi;(b+c) = -(b+c)&chi;a = -(b&chi;a + c&chi;a) = a&chi;b + a&chi;c
 === Siehe Auch ===
 [[Normalen]], [[Standard Skalarprodukt]]