Tutorial OpenGL3 Lineare Algebra - Versionsgeschichte

Glawesome: /* Vektor */ Inhaltliche sowie grammatische Korrekturen

2013-11-28T15:51:01Z

‎Vektor: Inhaltliche sowie grammatische Korrekturen

Glawesome: /* Eigenschaften und Formeln */ Hinweis zur nicht-Injektivität von arccos und arcsin hinzugefügt

2013-11-28T15:18:35Z

‎Eigenschaften und Formeln: Hinweis zur nicht-Injektivität von arccos und arcsin hinzugefügt

Glawesome: /* Bogenmaß und Gradmaß / 270° sind 3/2Pi und nicht 2/3*Pi

2013-11-28T14:53:47Z

‎Bogenmaß und Gradmaß: 270° sind 3/2*Pi und nicht 2/3*Pi

Openglerf: /* Programmiersprache, Compiler und CPU-Extension */ WäHrend

2012-03-18T15:49:38Z

‎Programmiersprache, Compiler und CPU-Extension: WäHrend

Tak2004 am 24. Oktober 2010 um 11:33 Uhr

2010-10-24T11:33:01Z

Thoronador: Tippfehler ausgebessert, kleinere Korrekturen

2010-09-21T13:56:01Z

Tippfehler ausgebessert, kleinere Korrekturen

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Thoronador: Tippfehler und Formulierungen ausgebessert (und das waren wohl noch nicht alle); Kategorisierung

2010-09-19T21:27:22Z

Tippfehler und Formulierungen ausgebessert (und das waren wohl noch nicht alle); Kategorisierung

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Tak2004: /* Kreuzprodukt */

2010-09-19T17:09:17Z

‎Kreuzprodukt

Flash: /* Sinus- und Kosinussatz */

2010-06-01T11:37:47Z

‎Sinus- und Kosinussatz

Frase: /* Sinus- und Kosinussatz */ - doofe Bemerkung um einen Typo eingefügt

2010-05-02T22:14:48Z

‎Sinus- und Kosinussatz: - doofe Bemerkung um einen Typo eingefügt

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 =Vektor=
-Ein Vektor kann mit einem Array oder einer Liste vergleicht werden, wenn man z.B. einen 3-dimensionalen Vektor meint, dann wäre es ein Array mit 3 Elementen.
+Ein Vektor kann mit einem Array oder einer Liste verglichen werden, wenn man z.B. einen 3-dimensionalen Vektor meint, dann wäre es ein Array mit 3 Elementen.
 Die übliche Schreibweise eines Vektors sieht wie folgt aus.
@@ Zeile 80: / Zeile 80: @@
 ==Einheitsvektor==
-Eine besondere Form eines Vektors ist der Einheitsvektor, welcher immer eine Länge von 1 hat. Der Einheitsvektor wird normalerweise als klein e gekennzeichnet.
+Eine besondere Form eines Vektors ist der Einheitsvektor, welcher immer eine Länge von 1 hat. Davon gibt es unendlich viele, nämlich in jede Richtung einen. Wie man aus einem beliebigen Vektor (außer dem Nullvektor) einen Einheitsvektor macht, wird im Abschnitt Normalisierung erläutert. Einheitsvektoren sind als Normalen oder Richtungsvektoren in OpenGL im Einsatz und bilden die Basis für Rotationen.
 ==Addition==
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 [[Datei:magnitude_vektor.png‎]]
-Magnitude ist der Englische Begriff für die Berechnung des Betrags eines Vektors oder auch die Länge.
+Magnitude ist der englische Begriff für die Berechnung des Betrags oder auch der Länge eines Vektors.
 Die Länge des Vektors wird benötigt, wenn man einen Vektor normalisieren will oder feststellen möchte, ob ein Vektor ein Einheitsvektor ist.
 [[Datei:betrag_vektor.png‎]]
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 [[Datei:skalarprodukt_vektor1.png]]
-Wenn die zwei Vektoren a und b vorliegen, sollte man davon ausgehen, dass der Betrag beider Vektoren jeweils 1 ist. Sollte es nicht der Fall sein, so wie im Bild über diesen Text, dann muss dies durch die Normalisierung nachgeholt werden. Dies passiert, indem man den Betrag beider Vektoren errechnet und dann diesen Komponentenweise mit dem Vektor dividiert. Die oben stehende Formel wird aus dem Kosinussatz abgeleitet und umgestellt. Daraus ergibt sich am Ende, dass die Summe der komponentenweise multiplizierten Vektoren a und b den Kosinus des Winkels ergibt. Es ist wichtig zu beachten, dass nicht der Winkel sondern der Kosinus des Winkels in c wieder zu finden ist. Wenn man den Winkel haben möchte, dann muss man den Arkuskosinus von c berechnen und das Ergebnis vom Bogenmaß ins Gradmaß umwandeln, um den Winkel (als Delta markiert) zu bekommen.
+Wenn die zwei Vektoren a und b vorliegen, sollte man davon ausgehen, dass der Betrag beider Vektoren jeweils 1 ist. Sollte es nicht der Fall sein, so wie im Bild über diesen Text, dann muss dies durch die Normalisierung nachgeholt werden. Dies passiert, indem man für jeden Vektor den Betrag errechnet und dann den Vektor komponentenweise durch diesen Betrag dividiert. Die oben stehende Formel wird aus dem Kosinussatz abgeleitet und umgestellt. Daraus ergibt sich am Ende, dass die Summe der komponentenweise multiplizierten Vektoren a und b den Kosinus des Winkels ergibt. Es ist wichtig zu beachten, dass nicht der Winkel sondern der Kosinus des Winkels in c wieder zu finden ist. Wenn man den Winkel haben möchte, dann muss man den Arkuskosinus von c berechnen und das Ergebnis ggf. vom Bogenmaß ins Gradmaß umwandeln, um den Winkel (als Delta markiert) zu bekommen.
 <source lang="cpp">class TVector4Float
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 [[Datei:kreuzprodukt_vektor.png‎]]
-Das Kreuzprodukt errechnet einen Vektor, der senkrecht zu den Vektoren a und b steht, wenn a und b den selben Ursprung haben. Dieses Verhalten wird genutzt, um die Normale einer Fläche zu errechnen.
+Das Kreuzprodukt errechnet einen Vektor, der senkrecht zu den Vektoren a und b steht, wenn a und b den selben Ursprung haben. Dieses Verhalten wird genutzt, um die [[Normale]] einer Fläche zu errechnen.
 [[Datei:kreuzprodukt_vektor1.png]]
-Der berechnete Vektor hat wie schon erwähnt die Eigenschaft, dass er senkrecht zu den Vektoren a und b ausgerichtet ist. Dies bedeutet, dass der Winkel zwischen dem berechnetem Vektor und a oder b immer 90° beträgt. Wenn a und b zwei von den drei Eckpunkten eines Dreiecks sind, dann zeigt der Vektor c senkrecht zum Dreieck und bildet den Richtungsvektor des Dreiecks. Wenn man nun noch diesen Vektor normalisiert, dann erhält man die Flächenormale. Diese hat den Betrag 1 und wird für verschiedene Rendertechniken, sowie Physikberechnungen benötigt.
+Der berechnete Vektor hat wie schon erwähnt die Eigenschaft, dass er senkrecht zu den Vektoren a und b ausgerichtet ist. Dies bedeutet, dass der Winkel zwischen dem berechnetem Vektor und a oder b immer 90° beträgt. Wenn a und b die Verbindungsvektoren von einem Eckpunkt eines Dreiecks zu den beiden anderen sind, dann zeigt der Vektor c senkrecht zum Dreieck und bildet den Richtungsvektor des Dreiecks. Wenn man nun noch diesen Vektor normalisiert, dann erhält man die Flächenormale. Diese hat den Betrag 1 und wird für verschiedene Rendertechniken, sowie Physikberechnungen benötigt.
-Wenn z.B. ein Lichtstrahl solch ein Dreieck schneidet, dann kann man mit Hilfe des Vektors (vom Lichstrahl) und der Normale (der Fläche) den Reflektionsvektor berechnen und somit sagen, in welche Richtung sich das Licht weiter bewegen würde.
+Wenn z.B. ein Lichtstrahl solch ein Dreieck schneidet, dann kann man mit Hilfe des Richtungsvektors (vom Lichstrahl) und der Normale (der Fläche) den Reflektionsvektor berechnen und somit sagen, in welche Richtung sich das Licht weiter bewegen würde.
 Es ist zu beachten, dass die Reihenfolge, in der man beide Vektoren multipliziert, einen Einfluss auf die Richtung, in die c zeigt, hat.
 Wenn man a und b tauscht, dann wechseln die Vorzeichen aller Komponenten von c.
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    for (unsigned int i=0;i<4;i++)
+   {
-     next=(i+1) % 4;//i+1 Modulo 4
+     next = (i+1) % 4;//i+1 Modulo 4
-     nextnext=(i+2) % 4;
+     nextnext = (i+2) % 4;
-     c.m_Vec[i]=this->m_Vec[next]*b.m_Vec[nextnext]-this->m_Vec[nextnext]*b.m_Vec[next];
+     c.m_Vec[i] = m_Vec[next]*b.m_Vec[nextnext] - m_Vec[nextnext]*b.m_Vec[next];
+   }
    return c;
@@ Zeile 203: / Zeile 201: @@
 };</source>
-==Normalisieren==
+==Normalisierung==
 [[Datei:normalisieren_vektor.png‎]]
-Bei der Normalisierung wird der Betrag eines Vektors mit dem Vektor dividiert und man erhält einen Vektor, der in die gleiche Richtung zeigt, aber auf Länge 1 skaliert ist.
+Bei der Normalisierung wird ein Vektor durch seinen Betrag dividiert und man erhält einen Vektor, der in die gleiche Richtung zeigt, aber auf die Länge 1 skaliert ist.
 <source lang="cpp">class TVector4Float
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 TVector4Float Normalisieren(){
    TVector4Float c;
-   c=(*this)/this->Betrag();
+   c = (*this)/this->Betrag();
    return c;
+}

← Nächstältere Version		Version vom 28. November 2013, 15:18 Uhr
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	Es ist zu beachten, dass diese Werte im Bogenmaß zurückgeben und diese für das Gradmaß entsprechend umgerechnet werden müssen.		Es ist zu beachten, dass diese Werte im Bogenmaß zurückgeben und diese für das Gradmaß entsprechend umgerechnet werden müssen.
		+
		+	Außerdem sollte man wissen, dass Sinus und Kosinus keine injektiven Funktionen sind. Das heißt auf deutsch: Wer arccos(cos(a)) berechnet, kann nicht sicher sein, dass das Ergebnis wieder a ist. Um dies nachzuvollziehen, setze man für a z.B. 3/2*pi ein (also 270°). Der Kosinus dieses Winkels ist 0 (siehe Zeichnung oben). Die Funktion arccos bekommt also das Argument 0 übergeben und soll den zugehörigen Winkel ausspucken. Das Problem ist: Es gibt nicht "den" zugehörigen Winkel, sondern zwei (und wenn man Winkel >360° oder <0 zulässt, sind es sogar unendlich viele). Die Arcus-Funktionen geben in diesem Fall den kleinsten Winkel >= 0 aus - also in diesem Fall pi/2 = 90° (siehe Zeichnung oben).

	=Vektor=		=Vektor=

@@ Zeile 13: / Zeile 13: @@
 Das Bogenmaß wird durch die Konstante Pi beschrieben, wobei der Wertebereich von 0 bis 2*Pi geht.
 Das Gradmaß ist eine Einteilung, welche von 0 bis 360° abgebildet wird.
-° sind 0, 90° sind 0.5*Pi, 180° sind Pi, 270° sind 2/3*Pi und 360° sind 2*Pi oder auch 0° und 0.
+° sind 0, 90° sind 0.5*Pi, 180° sind Pi, 270° sind 3/2*Pi und 360° sind 2*Pi oder auch 0° und 0.
 Um vom Bogenmaß ins Gradmaß umzurechnen, kann man folgende Formel verwenden:

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 ==Programmiersprache, Compiler und CPU-Extension==
-Die Optimierung ist stark von Programmiersprache und Compiler abhängig. Wärend man mit Delphi, Freepascal und MS VSC++ Compiler nur aufwändig SSE, MMX und weitere CPU Extension implementieren kann, hat der GCC eine Vektorextension und seit Version 4.x auch eine Funktionsoptimierung. Die Vektorextension von GCC ist eine Parsererweiterung, welche einen Typ als ein bestimmten Vektortyp(z.B. Float Länge 4) bestimmt und dann entsprechend alle Operationen in SSE1-4 oder MMX-Code umwandelt. Seit Version 4.x gibt es eine Funktionsoptimierung, welche erlaubt, im Quellcode mehrere Optimierungen gleichzeitig zu nutzen. Die bedeutet, dass man eine Funktion wie Vektor.Magnitude() mehrfach implementiert und dann jeweils eine andere Optimierung aktiviert. Also Vektor.Magnitude_sse(), Vektor.Magnitude_mmx(),... und dann die jeweilige Funktion mit SSE, MMX oder ohne Optimierung markiert. Der Compiler optimiert dann diese Funktion für die jeweilige CPU Extension und man kann dann im Programmcode entsprechend der gegebenen Hardware auf die bestmögliche Funktion umlenken. Dies hat den Vorteil, dass man nur noch eine Binary hat und alle CPUs (mehr Kern, ein Kern, Intel Petium1-4, AMD Athlon und so weiter) der gleichen Architektur optimiert unterstützen kann. Dies ist nützlich, wenn man alte CPUs unterstützen will. Es würde sich also lohnen, wenn man sich viel Ärger und Code sparen will, den Code in GCC als Bibliothek zu implementieren und statisch oder dynamisch zu linken.
+Die Optimierung ist stark von Programmiersprache und Compiler abhängig. Während man mit Delphi, Freepascal und MS VSC++ Compiler nur aufwändig SSE, MMX und weitere CPU Extension implementieren kann, hat der GCC eine Vektorextension und seit Version 4.x auch eine Funktionsoptimierung. Die Vektorextension von GCC ist eine Parsererweiterung, welche einen Typ als ein bestimmten Vektortyp(z.B. Float Länge 4) bestimmt und dann entsprechend alle Operationen in SSE1-4 oder MMX-Code umwandelt. Seit Version 4.x gibt es eine Funktionsoptimierung, welche erlaubt, im Quellcode mehrere Optimierungen gleichzeitig zu nutzen. Die bedeutet, dass man eine Funktion wie Vektor.Magnitude() mehrfach implementiert und dann jeweils eine andere Optimierung aktiviert. Also Vektor.Magnitude_sse(), Vektor.Magnitude_mmx(),... und dann die jeweilige Funktion mit SSE, MMX oder ohne Optimierung markiert. Der Compiler optimiert dann diese Funktion für die jeweilige CPU Extension und man kann dann im Programmcode entsprechend der gegebenen Hardware auf die bestmögliche Funktion umlenken. Dies hat den Vorteil, dass man nur noch eine Binary hat und alle CPUs (mehr Kern, ein Kern, Intel Petium1-4, AMD Athlon und so weiter) der gleichen Architektur optimiert unterstützen kann. Dies ist nützlich, wenn man alte CPUs unterstützen will. Es würde sich also lohnen, wenn man sich viel Ärger und Code sparen will, den Code in GCC als Bibliothek zu implementieren und statisch oder dynamisch zu linken.
 ==Templates und Generics==

← Nächstältere Version		Version vom 24. Oktober 2010, 11:33 Uhr
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		+	{{Unvollständig\|Quaternion,Rechtschreibung und Grammatik sowie ein Inhaltscheck fehlen. Die einzelnen Matrizen müssen noch besser erklärt werden.}}
	=Vorwort=		=Vorwort=
	Lineare Algebra ist ein Teilgebiet der Mathematik und beschäftigt sich mit Vektorräumen.		Lineare Algebra ist ein Teilgebiet der Mathematik und beschäftigt sich mit Vektorräumen.

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 ===Sinus- und Kosinussatz===
-Ein wichtige Gleichung, welche später wieder aufgegriffen werden wird, ist der Kosinutzsatz. Der heißt natürlich in Wahrheit nicht so, hier soll aber der Nutzen vom Kosinus verdeutlicht werden - also nennen wir ihn einfach mal so. [Anm. Diesen bescheuerten Kommentar von Frase sollte man mal entfernen, wenn das Tutorial fertig ist]
+Ein wichtige Gleichung, welche später wieder aufgegriffen werden wird, ist der Kosinussatz.
 Doch zuvor sollte der Sinussatz genauer betrachtet werden.