Techniken zur Matrixinversion - Versionsgeschichte

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2013-11-19T20:59:32Z

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Openglerf: Daß -> Dass

2012-03-18T16:03:27Z

Daß -> Dass

Thoronador: /* Reine Rotationsmatrizen */

2011-01-22T19:00:37Z

‎Reine Rotationsmatrizen

Traude: Artikel Offline gesetzt, denn der Artikel bedarf einer Überarbeitung

2009-07-08T08:25:56Z

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Nico Michaelis: /* Reine Rotationsmatrizen */ Matrix Transposition verlinkt

2009-01-08T12:00:16Z

‎Reine Rotationsmatrizen: Matrix Transposition verlinkt

Thoronador am 27. April 2008 um 01:14 Uhr

2008-04-27T01:14:19Z

Flash: Translation = Zeilen <-> Spalten

2006-10-12T15:59:46Z

Translation = Zeilen <-> Spalten

Nico Michaelis am 12. Oktober 2006 um 14:50 Uhr

2006-10-12T14:50:25Z

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== Techniken zur Matrixinversion ==
=== Übersicht ===
Das invertieren von [[Matrix|Matrizen]] kommt bei der OpenGl-Programmierung gelegentlich vor. Speichert man z.B. seine Kamera in Matrixform ab, weil die Rotation und Translation der Objekte generell in Matrixform gespeichert wird, so muss man, um die [[Tutorial_Kamera1|Kameraanalogie]] zu wahren, die Matrix invertieren. Da man dabei jedoch sehr häufig sehr spezielle Matrizen im Einsatz hat, gibt es hier verschiedene Techniken, um diese Matrizen zu invertieren.

=== Reine Rotationsmatrizen ===
Am einfachsten sind reine Rotationsmatrizen zu invertieren. Diese dürfen aus beliebigen Rotationen für den 3-Dimensionalen Raum bestehen. Dann ist eine Inversion unproblematisch, denn es genügt, die Matrix M zu transponieren, d.h. die Zeilen der Matrix als Zeilen in die Invertierte Matrix M-1 zu schreiben. Diese Translationsoperation wird häufig auch durch MT bezeichnet.

=== Translations- und Rotationsmatrizen ===
Hat man eine OpenGl-Matrix, die aus Rotationen und Translationen besteht, so zerfällt diese in einen seperaten Rotations und Translationsanteil. Eine Translation um einen Vektor b können wir leicht invertieren, indem wir um -b translieren. Reine Rotationsmatrizen können wir wie bekannt durch Translation invertieren. Betrachtet man OpenGl Matrizen, so zerfallen sie wie folgt:
{|
|- align="center"
| r || r || r || b1 || |
|- align="center"
| r || r || r || b2 || |
|- align="center"
| r || r || r || b3 || |
|- align="center"
| 0 || 0 || 0 || 1 || |
|}
Die Felder mit r wollen bilden den Rotationsteil und wollen wir als eine 3x3 Matrix R zusammenfassen. Zusätzlich definieren wir den Verschiebungsvektor b := (b1;b2b3).

Statt einer Multiplikation mit unserer Ausgangsmatrix M mit einem Vektor x könnten wir also auch rechnen:
y = Mx = Rx + b ( Achtung: Mathematisch geht das eigentlich nicht,
aber x ist ja 3-Dimensional und nicht 4-D . Damit
hier niemand schreit, daß das alles nur Mist ist )
R und b können wir leicht invertieren, also versuchen wir unser Glück und Rechnen auf y mit RT und -b:
RTy - b = RT(Rx + b) - b = RTRx + RTb - b = x + RTb -b
Wir stellen fest: Die Inversion der Rotation hat wunderbar geklappt, aber die Translation ist schiefgegangen. Rechnen wir aber statt -b mit -RTb, so fällt auch der hintere Teil weg:
RTy - RTb = RT(Rx + b) - RTb = x + RTb -RTb = x
Wir kennen jetzt also die Abbildung, die unsere Matrix invertiert. Es handelt sich wieder um eine Rotations + Translation (Wer hätte das gedacht? Verschieben und Rotieren kann man tatsächlich mit Verschieben und Rotieren rückgängig machen ;-) ). Definieren wir noch schnell v := -RTb. Dann stellen wir unsere Inversionsmatrix auf:
{|
|- align="center"
| rT || rT || rT || v1 || |
|- align="center"
| rT || rT || rT || v2 || |
|- align="center"
| rT || rT || rT || v3 || |
|- align="center"
| 0 || 0 || 0 || 1 || |
|}
Wobei nun rT die Komponenten von RT darstellen soll. Diese Matrix invertiert unsere Ausgangsmatrix ohne übderdimensionierte Rechnung, denn wir brauchen ja nur eine Teilmatrix zu transponieren (also eine Vertauschoperation), diese Matrix auf ein Vertex anwenden und in dessen Komponenten die Vorzeichen zu ändern.

=== Beliebige Matrizen ===
Beliebige nxn-Matrizen, deren Determinante ungleich 0 ist, lassen sich auch invertieren. Weis man gar nichts über diese Matrix, so empfiehlt es sich mithilfe von [http://de.wikipedia.org/wiki/LR-Zerlegung LR-Zerlegung] und anschließender Vorwärts- und Rückwärtssubstitution die inverse Matrix zu berechnen.

=== Siehe Auch ===
[[Matrix|Matrizen]], [[glLoadMatrix]], [[glMultMatrix]], [[Quaternion|Quaternionen]], [[Tutorial_Nachsitzen|Tutorial: Nachsitzen]]

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	== Techniken zur Matrixinversion ==		== Techniken zur Matrixinversion ==
	=== Übersicht ===		=== Übersicht ===

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   y = Mx = Rx + b ( Achtung: Mathematisch geht das eigentlich nicht,
                     aber x ist ja 3-Dimensional und nicht 4-D . Damit
-                    hier niemand schreit, daß das alles nur Mist ist )
+                    hier niemand schreit, dass das alles nur Mist ist )
 R und b können wir leicht invertieren, also versuchen wir unser Glück und Rechnen auf y mit R<sup>T</sup> und -b:
   R<sup>T</sup>y - b = R<sup>T</sup>(Rx + b) - b = R<sup>T</sup>Rx + R<sup>T</sup>b - b = x + R<sup>T</sup>b -b

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 === Reine Rotationsmatrizen ===
-Am einfachsten sind reine Rotationsmatrizen zu invertieren. Diese dürfen aus beliebigen Rotationen für den 3-Dimensionalen Raum bestehen. Dann ist eine Inversion unproblematisch, denn es genügt, die [[Matrix Transposition|Matrix M zu transponieren]], d.h. die Zeilen der Matrix als Spalten in die Invertierte Matrix M<sup>-1</sup> zu schreiben. Diese Translationsoperation wird häufig auch durch M<sup>T</sup> bezeichnet.
+Am einfachsten sind reine Rotationsmatrizen zu invertieren. Diese dürfen aus beliebigen Rotationen für den dreidimensionalen Raum bestehen. Dann ist eine Inversion unproblematisch, denn es genügt, die [[Matrixtransposition|Matrix M zu transponieren]], d.h. die Zeilen der Matrix als Spalten in die invertierte Matrix M<sup>-1</sup> zu schreiben. Diese Translationsoperation wird häufig auch durch M<sup>T</sup> bezeichnet.
 === Translations- und Rotationsmatrizen ===

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	== Techniken zur Matrixinversion ==		== Techniken zur Matrixinversion ==
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 === Reine Rotationsmatrizen ===
-Am einfachsten sind reine Rotationsmatrizen zu invertieren. Diese dürfen aus beliebigen Rotationen für den 3-Dimensionalen Raum bestehen. Dann ist eine Inversion unproblematisch, denn es genügt, die Matrix M zu transponieren, d.h. die Zeilen der Matrix als Spalten in die Invertierte Matrix M<sup>-1</sup> zu schreiben. Diese Translationsoperation wird häufig auch durch M<sup>T</sup> bezeichnet.
+Am einfachsten sind reine Rotationsmatrizen zu invertieren. Diese dürfen aus beliebigen Rotationen für den 3-Dimensionalen Raum bestehen. Dann ist eine Inversion unproblematisch, denn es genügt, die [[Matrix Transposition|Matrix M zu transponieren]], d.h. die Zeilen der Matrix als Spalten in die Invertierte Matrix M<sup>-1</sup> zu schreiben. Diese Translationsoperation wird häufig auch durch M<sup>T</sup> bezeichnet.
 === Translations- und Rotationsmatrizen ===

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 == Techniken zur Matrixinversion ==
 === Übersicht ===
-Das invertieren von [[Matrix|Matrizen]] kommt bei der OpenGl-Programmierung gelegentlich vor. Speichert man z.B. seine Kamera in Matrixform ab, weil die Rotation und Translation der Objekte generell in Matrixform gespeichert wird, so muss man, um die [[Tutorial_Kamera1|Kameraanalogie]] zu wahren, die Matrix invertieren. Da man dabei jedoch sehr häufig sehr spezielle Matrizen im Einsatz hat, gibt es hier verschiedene Techniken, um diese Matrizen zu invertieren.
+Das Invertieren von [[Matrix|Matrizen]] kommt bei der [[OpenGL]]-Programmierung gelegentlich vor. Speichert man z.B. seine Kamera in Matrixform ab, weil die Rotation und Translation der Objekte generell in Matrixform gespeichert wird, so muss man, um die [[Tutorial_Kamera1|Kameraanalogie]] zu wahren, die Matrix invertieren. Da man dabei jedoch sehr häufig sehr spezielle Matrizen im Einsatz hat, gibt es hier verschiedene Techniken, um diese Matrizen zu invertieren.
 === Reine Rotationsmatrizen ===
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 === Translations- und Rotationsmatrizen ===
-Hat man eine OpenGl-Matrix, die aus Rotationen und Translationen besteht, so zerfällt diese in einen seperaten Rotations und Translationsanteil. Eine Translation um einen Vektor b können wir leicht invertieren, indem wir um -b translieren. Reine Rotationsmatrizen können wir wie bekannt durch Translation invertieren. Betrachtet man OpenGl Matrizen, so zerfallen sie wie folgt:
+Hat man eine OpenGL-Matrix, die aus Rotationen und Translationen besteht, so zerfällt diese in einen seperaten Rotations- und Translationsanteil. Eine Translation um einen Vektor b können wir leicht invertieren, indem wir um -b translieren. Reine Rotationsmatrizen können wir wie bekannt durch Translation invertieren. Betrachtet man OpenGL-Matrizen, so zerfallen sie wie folgt:
 {|
 |- align="center"