Standardskalarprodukt - Versionsgeschichte

Thoronador: hat „Standard Skalarprodukt“ nach „Standardskalarprodukt“ verschoben: Das ist ein Wort, nicht zwei.

2011-01-22T17:58:23Z

hat „Standard Skalarprodukt“ nach „Standardskalarprodukt“ verschoben: Das ist ein Wort, nicht zwei.

Thoronador am 22. Januar 2011 um 17:56 Uhr

2011-01-22T17:56:37Z

La Boda am 12. Oktober 2006 um 16:31 Uhr

2006-10-12T16:31:37Z

Nico Michaelis: /* Rechenregeln */ Ein "." zu "•" gewechselt

2006-10-12T16:10:44Z

‎Rechenregeln: Ein "." zu "•" gewechselt

Nico Michaelis: /* Übersicht */ Einsatzzweck

2006-10-12T12:13:22Z

‎Übersicht: Einsatzzweck

Nico Michaelis: /* Standard Skalarprodukt */ Math. Symbole

2006-10-12T11:50:40Z

‎Standard Skalarprodukt: Math. Symbole

Nico Michaelis: /* Standard Skalarprodukt */ Superscript für Quadrate

2006-10-12T10:48:34Z

‎Standard Skalarprodukt: Superscript für Quadrate

Nico Michaelis: Siehe Auch

2006-10-12T10:46:02Z

Siehe Auch

Nico Michaelis am 12. Oktober 2006 um 10:33 Uhr

2006-10-12T10:33:10Z

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== Standard Skalarprodukt ==
=== Übersicht ===
Das euklidische Standardskalarprodukt oder Punktprodukt dient in der 3D Grafik meist zur berechnung von Winkeln, kann jedoch sehr häufig auch eine Reihe anderer zwecke erfüllen.
=== Definition ===
Zwei Vektoren a,b wird eine eindeutige Zahl &lsaquo;a,b&rsaquo; das Skalarprodukt zugeordnet:
&lsaquo;a,b&rsaquo; := ||a||*||b||*cos(Phi) 0≤Phi≤Pi

[[Bild:Std_Skalarprodukt.jpg|right|Skalarprodukt]]
Haben a,b also die Länge 1, so berechnet das Skalarprodukt &lsaquo;a,b&rsaquo; den Cosinus des Zwischenwinkels. Stehen beliebige Vektoren a,b Senkrecht aufeinander, so ist der Winkel gerade Pi/2, der Cosinus also 0 und damit ist das Skalarprodukt gerade dann 0, wenn die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen. (Beachte: Der Nullvektor ist senkrecht zu allen anderen Vektoren definiert, sogar zu sich selbst.)

Es lässt sich zeigen, daß man das Standard Skalarprodukt sehr leicht berechenn lässt. Seien a=(a1;a2;a3), b=(b1;b2;b3). Dann gilt:
&lsaquo;a,b&rsaquo; = a1*b1 + a2*b2 + a3*b3

=== Rechenregeln ===
* &lsaquo;a,a&rsaquo; entspricht der Länge von a im Quadrat, denn &lsaquo;a,a&rsaquo; = ||a||*||a||*Cos(0) = ||a||^2
* <div>Linearität in beiden Argumenten:
&lsaquo;a + b, c&rsaquo; = &lsaquo;a,c&rsaquo; + &lsaquo;b,c&rsaquo;
&lsaquo;a, b + c&rsaquo; = &lsaquo;a,b&rsaquo; + &lsaquo;a,c&rsaquo;
&lsaquo;lambda * a, b&rsaquo; = lambda * &lsaquo;a,b&rsaquo; (Lambda reel)
&lsaquo;a, lambda * b&rsaquo; = lambda * &lsaquo;a,b&rsaquo;
Es ist daher naheliegend das Produkt mit einem Punkt zu shcreiben und die gewohnten Rechenregeln anzuwenden. Deshalb schreibt man häufig auch: a*b := &lsaquo;a,b&rsaquo;. Die Regeln werden dann zu:
(a + b).c = a.c + b.c
a.(b + c) = a.b + a.c
</div>
* Kommutativität: &lsaquo;a,b&rsaquo;=&lsaquo;b,a&rsaquo;

=== Beispiel ===
==== Kugel - Ray - Intersection ====
Gegeben sei eine Kugel um den Mittelpunkt p mit radius r. Die Bedingung für Punkte x auf der Oberfläche der Kugel ist dann gegeben durch:
||x-p||= r,
d.h. der Abstand von x zu p entspricht dem Radius.
Andererseits sei ein Strahl mit Anfang o und richtung d gegeben. Für Punkte x auf dem Strah gilt also:
x = o + t*d (t reel, größer gleich 0)
Um die Schnittpunkte von Kugel und Strahl zu berechnen, wollen wir den Strahl in die Kugel einsetzen:
||x - p|| = r
&lsaquo;=&rsaquo; ||x - p||^2 = r^2 (Quadrieren)
&lsaquo;=&rsaquo; ||o + t*d - p||^2 - r^2 = 0
&lsaquo;=&rsaquo; ||(o-p) + t*d||^2 - r^2 = 0 (Definiere zur kurzen schreibweise: e := o-p )
&lsaquo;=&rsaquo; &lsaquo;e + t*d, e + t*d&rsaquo; - r^2 = 0 (||.||^2 als Skalarprodukt)
&lsaquo;=&rsaquo; &lsaquo;e,e&rsaquo; + 2*&lsaquo;e,t*d&rsaquo; + &lsaquo;t*d, t*d&rsaquo; - r^2 = 0
&lsaquo;=&rsaquo; ||e||^2 + 2*t*&lsaquo;e,d&rsaquo; + ||t*d||^2 - r^2 = 0
&lsaquo;=&rsaquo; |t|^2*||d||^2 + 2*t*&lsaquo;e,d&rsaquo; + ||e||^2 - r^2 = 0
Man kann ||d||^2=&lsaquo;d,d&rsaquo;, &lsaquo;e,d&rsaquo; und ||e||^2 - r^2 leicht berechnen und erhät so eine quadratische Gleichung für t, die man mit der Mitternachtsformel schnell löst (Anhand der "Determinante" kann man prüfen, ob überhaupt ein Schnitt vorliegt). Die höchstens 2 Lösungen von t kann man dann in den Strahl einsetzen und bekommt die Schnittpunkte.

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-== Standard Skalarprodukt ==
+== Standardskalarprodukt ==
 === Übersicht ===
-Das euklidische Standardskalarprodukt oder Punktprodukt dient in der 3D Grafik meist zur Berechnung von Winkeln, kann jedoch sehr häufig auch eine Reihe anderer Zwecke erfüllen. Die Einsatzorte sind vielfältig, kann man doch damit Reflexionen, Bumpmapping, Collision Detection u.v.m. realisieren.
+Das euklidische Standardskalarprodukt oder Punktprodukt dient in der 3D-Grafik meist zur Berechnung von Winkeln, kann jedoch sehr häufig auch eine Reihe anderer Zwecke erfüllen. Die Einsatzorte sind vielfältig, kann man doch damit Reflexionen, Bumpmapping, Collision Detection u.v.m. realisieren.
 === Definition ===
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 Haben a, b also die Länge 1, so berechnet das Skalarprodukt &lsaquo;a,b&rsaquo; den Kosinus des Zwischenwinkels. Stehen beliebige Vektoren a, b senkrecht aufeinander, so ist der Winkel Pi/2, der Cosinus also 0 und damit das Skalarprodukt 0, wenn die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen. (Beachte: Der Nullvektor ist senkrecht zu allen anderen Vektoren definiert, sogar zu sich selbst!)
-Es lässt sich zeigen, dass man das Standard Skalarprodukt sehr leicht berechnen kann. Seien a=(a1;a2;a3), b=(b1;b2;b3), dann gilt:
+Es lässt sich zeigen, dass man das Standardskalarprodukt sehr leicht berechnen kann. Seien a=(a1;a2;a3), b=(b1;b2;b3), dann gilt:
   &lsaquo;a,b&rsaquo; = a1*b1 + a2*b2 + a3*b3

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 == Standard Skalarprodukt ==
 === Übersicht ===
-Das euklidische Standardskalarprodukt oder Punktprodukt dient in der 3D Grafik meist zur berechnung von Winkeln, kann jedoch sehr häufig auch eine Reihe anderer zwecke erfüllen. Die Einsatzorte sind vielfältig, kann man doch damit Reflexionen, Bumpmapping, Collision Detection u.v.m. realisieren.
+Das euklidische Standardskalarprodukt oder Punktprodukt dient in der 3D Grafik meist zur Berechnung von Winkeln, kann jedoch sehr häufig auch eine Reihe anderer Zwecke erfüllen. Die Einsatzorte sind vielfältig, kann man doch damit Reflexionen, Bumpmapping, Collision Detection u.v.m. realisieren.
 === Definition ===
-Zwei Vektoren a,b wird eine eindeutige Zahl &lsaquo;a,b&rsaquo; das Skalarprodukt zugeordnet:
+Zwei Vektoren a, b wird durch eine eindeutige Zahl &lsaquo;a,b&rsaquo; das Skalarprodukt zugeordnet:
   &lsaquo;a,b&rsaquo; := ||a||*||b||*cos(&phi;) 0&le;&phi;&le;&pi;
 [[Bild:Std_Skalarprodukt.jpg|right|Skalarprodukt]]
-Haben a,b also die Länge 1, so berechnet das Skalarprodukt &lsaquo;a,b&rsaquo; den Cosinus des Zwischenwinkels. Stehen beliebige Vektoren a,b Senkrecht aufeinander, so ist der Winkel gerade Pi/2, der Cosinus also 0 und damit ist das Skalarprodukt gerade dann 0, wenn die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen. (Beachte: Der Nullvektor ist senkrecht zu allen anderen Vektoren definiert, sogar zu sich selbst.)
+Haben a, b also die Länge 1, so berechnet das Skalarprodukt &lsaquo;a,b&rsaquo; den Kosinus des Zwischenwinkels. Stehen beliebige Vektoren a, b senkrecht aufeinander, so ist der Winkel Pi/2, der Cosinus also 0 und damit das Skalarprodukt 0, wenn die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen. (Beachte: Der Nullvektor ist senkrecht zu allen anderen Vektoren definiert, sogar zu sich selbst!)
-Es lässt sich zeigen, daß man das Standard Skalarprodukt sehr leicht berechenn lässt. Seien a=(a1;a2;a3), b=(b1;b2;b3). Dann gilt:
+Es lässt sich zeigen, dass man das Standard Skalarprodukt sehr leicht berechnen kann. Seien a=(a1;a2;a3), b=(b1;b2;b3), dann gilt:
   &lsaquo;a,b&rsaquo; = a1*b1 + a2*b2 + a3*b3
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   &lsaquo;&lambda;* a, b&rsaquo; = &lambda;* &lsaquo;a,b&rsaquo; (&lambda; reel)
   &lsaquo;a, &lambda;* b&rsaquo; = &lambda;* &lsaquo;a,b&rsaquo;
-Es ist daher naheliegend das Produkt mit einem Punkt zu shcreiben und die gewohnten Rechenregeln anzuwenden. Deshalb schreibt man häufig auch: a&bull;b := &lsaquo;a,b&rsaquo;. Die Regeln werden dann zu:
+Es ist daher naheliegend, das Produkt mit einem Punkt zu schreiben und die gewohnten Rechenregeln anzuwenden. Deshalb schreibt man häufig auch: a&bull;b := &lsaquo;a,b&rsaquo;. Die Regeln werden dann zu:
   (a + b)&bull;c = a&bull;c + b&bull;c
   a&bull;(b + c) = a&bull;b + a&bull;c
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 === Beispiel ===
 ==== Kugel - Ray - Intersection ====
-Gegeben sei eine Kugel um den Mittelpunkt p mit radius r. Die Bedingung für Punkte x auf der Oberfläche der Kugel ist dann gegeben durch:
+Gegeben sei eine Kugel um den Mittelpunkt p mit Radius r. Die Bedingung für Punkte x auf der Oberfläche der Kugel ist dann gegeben durch:
   ||x-p||= r,
 d.h. der Abstand von x zu p entspricht dem Radius.
-Andererseits sei ein Strahl mit Anfang o und richtung d gegeben. Für Punkte x auf dem Strah gilt also:
+Andererseits sei ein Strahl mit Anfang o und Richtung d gegeben. Für Punkte x auf dem Strahl gilt also:
   x = o + t*d (t reel, größer gleich 0)
 Um die Schnittpunkte von Kugel und Strahl zu berechnen, wollen wir den Strahl in die Kugel einsetzen:
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   &lsaquo;=&rsaquo; ||x - p||<sup>2</sup> = r<sup>2</sup> (Quadrieren)
   &lsaquo;=&rsaquo; ||o + t*d - p||<sup>2</sup> - r<sup>2</sup> = 0
-  &lsaquo;=&rsaquo; ||(o-p) + t*d||<sup>2</sup> - r<sup>2</sup> = 0 (Definiere zur kurzen schreibweise: e := o-p )
+  &lsaquo;=&rsaquo; ||(o-p) + t*d||<sup>2</sup> - r<sup>2</sup> = 0 (Definiere zur kurzen Schreibweise: e := o-p )
   &lsaquo;=&rsaquo; &lsaquo;e + t*d, e + t*d&rsaquo; - r<sup>2</sup> = 0 (||.||<sup>2</sup> als Skalarprodukt)
   &lsaquo;=&rsaquo; &lsaquo;e,e&rsaquo; + 2*&lsaquo;e,t*d&rsaquo; + &lsaquo;t*d, t*d&rsaquo; - r<sup>2</sup> = 0

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 Es ist daher naheliegend das Produkt mit einem Punkt zu shcreiben und die gewohnten Rechenregeln anzuwenden. Deshalb schreibt man häufig auch: a&bull;b := &lsaquo;a,b&rsaquo;. Die Regeln werden dann zu:
   (a + b)&bull;c = a&bull;c + b&bull;c
-  a&bull;(b + c) = a.b + a&bull;c
+  a&bull;(b + c) = a&bull;b + a&bull;c
 </div>
 * Kommutativität: &lsaquo;a,b&rsaquo;=&lsaquo;b,a&rsaquo;

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	&lsaquo;=&rsaquo; \|t\|^2\|\|d\|\|^2 + 2t*&lsaquo;e,d&rsaquo; + \|\|e\|\|^2 - r^2 = 0		&lsaquo;=&rsaquo; \|t\|^2\|\|d\|\|^2 + 2t*&lsaquo;e,d&rsaquo; + \|\|e\|\|^2 - r^2 = 0
	Man kann \|\|d\|\|^2=&lsaquo;d,d&rsaquo;, &lsaquo;e,d&rsaquo; und \|\|e\|\|^2 - r^2 leicht berechnen und erhät so eine quadratische Gleichung für t, die man mit der Mitternachtsformel schnell löst (Anhand der "Determinante" kann man prüfen, ob überhaupt ein Schnitt vorliegt). Die höchstens 2 Lösungen von t kann man dann in den Strahl einsetzen und bekommt die Schnittpunkte.		Man kann \|\|d\|\|^2=&lsaquo;d,d&rsaquo;, &lsaquo;e,d&rsaquo; und \|\|e\|\|^2 - r^2 leicht berechnen und erhät so eine quadratische Gleichung für t, die man mit der Mitternachtsformel schnell löst (Anhand der "Determinante" kann man prüfen, ob überhaupt ein Schnitt vorliegt). Die höchstens 2 Lösungen von t kann man dann in den Strahl einsetzen und bekommt die Schnittpunkte.
		+
		+	=== Siehe auch ===
		+	[[Vektorprodukt]]

← Nächstältere Version	Version vom 22. Januar 2011, 17:58 Uhr
(kein Unterschied)

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 === Rechenregeln ===
-* &lsaquo;a,a&rsaquo; entspricht der Länge von a im Quadrat, denn &lsaquo;a,a&rsaquo; = ||a||*||a||*Cos(0) = ||a||^2
+* &lsaquo;a,a&rsaquo; entspricht der Länge von a im Quadrat, denn &lsaquo;a,a&rsaquo; = ||a||*||a||*Cos(0) = ||a||<sup>2</sup>
 * <div>Linearität in beiden Argumenten:
   &lsaquo;a + b, c&rsaquo; = &lsaquo;a,c&rsaquo; + &lsaquo;b,c&rsaquo;
@@ Zeile 34: / Zeile 34: @@
 Um die Schnittpunkte von Kugel und Strahl zu berechnen, wollen wir den Strahl in die Kugel einsetzen:
       ||x - p|| = r
-  &lsaquo;=&rsaquo; ||x - p||^2 = r^2 (Quadrieren)
+  &lsaquo;=&rsaquo; ||x - p||<sup>2</sup> = r<sup>2</sup> (Quadrieren)
-  &lsaquo;=&rsaquo; ||o + t*d - p||^2 - r^2 = 0
+  &lsaquo;=&rsaquo; ||o + t*d - p||<sup>2</sup> - r<sup>2</sup> = 0
-  &lsaquo;=&rsaquo; ||(o-p) + t*d||^2 - r^2 = 0 (Definiere zur kurzen schreibweise: e := o-p )
+  &lsaquo;=&rsaquo; ||(o-p) + t*d||<sup>2</sup> - r<sup>2</sup> = 0 (Definiere zur kurzen schreibweise: e := o-p )
-  &lsaquo;=&rsaquo; &lsaquo;e + t*d, e + t*d&rsaquo; - r^2 = 0 (||.||^2 als Skalarprodukt)
+  &lsaquo;=&rsaquo; &lsaquo;e + t*d, e + t*d&rsaquo; - r<sup>2</sup> = 0 (||.||<sup>2</sup> als Skalarprodukt)
-  &lsaquo;=&rsaquo; &lsaquo;e,e&rsaquo; + 2*&lsaquo;e,t*d&rsaquo; + &lsaquo;t*d, t*d&rsaquo; - r^2 = 0
+  &lsaquo;=&rsaquo; &lsaquo;e,e&rsaquo; + 2*&lsaquo;e,t*d&rsaquo; + &lsaquo;t*d, t*d&rsaquo; - r<sup>2</sup> = 0
-  &lsaquo;=&rsaquo; ||e||^2 + 2*t*&lsaquo;e,d&rsaquo; + ||t*d||^2 - r^2 = 0
+  &lsaquo;=&rsaquo; ||e||<sup>2</sup> + 2*t*&lsaquo;e,d&rsaquo; + ||t*d||<sup>2</sup> - r<sup>2</sup> = 0
-  &lsaquo;=&rsaquo; |t|^2*||d||^2 + 2*t*&lsaquo;e,d&rsaquo; + ||e||^2 - r^2 = 0
+  &lsaquo;=&rsaquo; |t|<sup>2</sup>*||d||<sup>2</sup> + 2*t*&lsaquo;e,d&rsaquo; + ||e||<sup>2</sup> - r<sup>2</sup> = 0
-Man kann ||d||^2=&lsaquo;d,d&rsaquo;, &lsaquo;e,d&rsaquo; und ||e||^2 - r^2 leicht berechnen und erhät so eine quadratische Gleichung für t, die man mit der Mitternachtsformel schnell löst (Anhand der "Determinante" kann man prüfen, ob überhaupt ein Schnitt vorliegt). Die höchstens 2 Lösungen von t kann man dann in den Strahl einsetzen und bekommt die Schnittpunkte.
+Man kann ||d||<sup>2</sup>=&lsaquo;d,d&rsaquo;, &lsaquo;e,d&rsaquo; und ||e||<sup>2</sup> - r<sup>2</sup> leicht berechnen und erhät so eine quadratische Gleichung für t, die man mit der Mitternachtsformel schnell löst (Anhand der "Determinante" kann man prüfen, ob überhaupt ein Schnitt vorliegt). Die höchstens 2 Lösungen von t kann man dann in den Strahl einsetzen und bekommt die Schnittpunkte.
 === Siehe auch ===
 [[Vektorprodukt]]