Mesh - Versionsgeschichte

Coolcat: /* Abschätzungen für Dreiecks-Meshes */ Vertices vs. Faces

2009-04-06T12:18:44Z

‎Abschätzungen für Dreiecks-Meshes: Vertices vs. Faces

Coolcat: /* Euler-Formel */

2009-04-04T15:19:11Z

‎Euler-Formel

Coolcat: /* Eigenschaften */

2009-04-04T14:48:46Z

‎Eigenschaften

Coolcat: /* Valenz */

2009-04-04T14:22:25Z

‎Valenz

Coolcat: /* Valenz */

2009-04-04T14:12:05Z

‎Valenz

Coolcat: /* Vertices vs. Kanten */

2009-04-04T14:10:00Z

‎Vertices vs. Kanten

Coolcat: /* Euler-Formel */

2009-04-04T14:05:53Z

‎Euler-Formel

Coolcat: /* Abschätzungen für Dreiecks-Meshes */

2009-04-04T14:04:56Z

‎Abschätzungen für Dreiecks-Meshes

Coolcat: /* Abschätzungen für Dreiecks-Meshes */

2009-04-04T13:54:59Z

‎Abschätzungen für Dreiecks-Meshes

Coolcat: /* Euler-Formel */

2009-04-04T12:02:03Z

‎Euler-Formel

← Nächstältere Version		Version vom 6. April 2009, 12:18 Uhr
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	===Vertices vs. Kanten===		===Vertices vs. Kanten===
	Aus der Valenz-Abschätzung können wir auch eine Relation zwischen Vertices und Kanten herstellen. Es gilt <tt>2E = HE</tt> und <tt>6V {{ASYMP}} HE</tt>, also gilt insgesamt <tt>3*V {{ASYMP}} E</tt>. In einem ''geschlossenen'' und ''2-mannigfaltigen'' Dreiecks-Mesh mit vernachlässigbarem Genus gibt es also ungefähr dreimal so viele Kanten wie Vertices.		Aus der Valenz-Abschätzung können wir auch eine Relation zwischen Vertices und Kanten herstellen. Es gilt <tt>2E = HE</tt> und <tt>6V {{ASYMP}} HE</tt>, also gilt insgesamt <tt>3*V {{ASYMP}} E</tt>. In einem ''geschlossenen'' und ''2-mannigfaltigen'' Dreiecks-Mesh mit vernachlässigbarem Genus gibt es also ungefähr dreimal so viele Kanten wie Vertices.
		+
		+	===Vertices vs. Faces===
		+	Aus <tt>2E = 3F</tt> und <tt>3*V {{ASYMP}} E</tt> kann man natürlich auch leicht folgern, dass es ungefähr zweimal so viele Faces wie Vertices gibt. Dies gilt natürlich wieder nur, wenn es sich um ein ''geschlossenes'' und ''2-mannigfaltiges'' Dreiecks-Mesh mit vernachlässigbarem Genus handelt.

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 Die Variablen {{INLINE_CODE|V}}, {{INLINE_CODE|E}} und {{INLINE_CODE|F}} stehen dabei für die Anzahl der Vertices, Kanten (Edges) und Faces. Die Variable {{INLINE_CODE|g}} steht für den Genus des Objektes. Intuitiv ist der Genus eines Meshes die Anzahl der "Griffe". Ein Bild erklärt dies wohl am besten.<br>
 [[Bild:mesh-genus.jpg]]<br>
-Ein doppelter Torus, also mit zwei Löchern, hätte dann den Genus Zwei. Sofern das Mesh nicht ''geschlossen'' ist, rechnet man einfach mit zusätzlichen Faces, welches das Mesh schließen. Aus diesem Grund ist der Genus der Röhre im obigen Bild auch Null. An jedem Ende der Röhre wird je ein Face benötigt welches die offenen Kanten abschließt. Üblicherweise ist der Genus im Vergleich zur Anzahl der Vertices und Faces sehr klein. Er wird aus diesem Grunde wird der Genus häufig als konstant angenommen. Für Abschätzungen bei denen es sowieso nur auf die ungefähre Größenordnung ankommt wird daher meist die vereinfachte Formel verwendet:
+Ein doppelter Torus, also mit zwei Löchern, hätte dann den Genus Zwei. Sofern das Mesh nicht ''geschlossen'' ist, rechnet man einfach mit zusätzlichen Faces, welches das Mesh schließen. Aus diesem Grund ist der Genus der Röhre im obigen Bild auch Null. An jedem Ende der Röhre wird je ein Face benötigt welches die offenen Kanten abschließt. Üblicherweise ist der Genus im Vergleich zur Anzahl der Vertices und Faces sehr klein. Aus diesem Grunde wird der Genus häufig als konstant angenommen. Für Abschätzungen bei denen es sowieso nur auf die ungefähre Größenordnung ankommt wird daher meist die vereinfachte Formel verwendet:
 : <tt>V - E + F {{ASYMP}} 0</tt>

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 == Eigenschaften ==
-Ein Mesh kann diverse Eigenschaften haben. Aus diesen Eigenschaften lassen sich lassen sich Aussagen über das Verhältnis zwischen [[Vertex|Vertices]], [[Edge|Kanten]] (Edges) und [[Face]]s treffen.
+Im folgenden werden einige Eigenschaften definiert die ein beliebiges Mesh haben kann. Erfüllt ein Mesh diese Eigenschaften können wir diverse Abschätzungen über das Verhältnis zwischen [[Vertex|Vertices]], [[Edge|Kanten]] (Edges) und [[Face]]s treffen. Diese helfen zum Beispiel bei Aussagen über den Speicherbedarf eines Meshes. Auch kann man beweisen das gewisse Meshes gar nicht realisierbar sind.
 ====2-Mannigfaltigkeit====
--Mannigfaltigkeit ist eine wichtige Eigenschaft. Einfach ausgedrückt ist sie gegeben, wenn das Mesh aus einer einfachen Oberfläche besteht an der keine zusätzlichen Teile angebracht sind. Eine etwas formalere Definition folgt nun. Eine [http://de.wikipedia.org/wiki/2-Mannigfaltigkeit alternative Definition] findet sich  bei Wikipedia.
+-Mannigfaltigkeit ist eine wichtige Eigenschaft. Einfach ausgedrückt ist sie gegeben, wenn das Mesh aus einer einfachen Oberfläche besteht an der keine zusätzlichen Teile angebracht sind. Eine etwas formalere Definition folgt nun. Eine [http://de.wikipedia.org/wiki/2-Mannigfaltigkeit alternative Definition] findet sich bei Wikipedia.
 Ein Mesh ist ''2-mannigfaltig'', wenn die folgenden Eigenschaften gegeben sind.

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 Die Valenz eines Vertex ist die Anzahl der Kanten zu denen er gehört. Diese Zahl ist gleich der Anzahl der Faces zu denen der Vertex gehört. In einem ''geschlossenen'' und ''2-mannigfaltigen'' Dreiecks-Mesh mit vernachlässigbarem Genus beträgt durchschnittliche Vertexvalenz ungefähr 6. Also gehört jeder Vertex im Durchschnitt zu 6 Dreiecken. Diese Aussage hilft zum Beispiel den eingesparten Speicherplatz bei Verwendung von Indices abzuschätzen.
-Auch diese Aussage lässt sich leicht zeigen. Dieses mal teilen wir jede Kante in der Mitte zwischen den Vertices und erhalten wieder zwei Halbkanten. Jede Halbkante eindeutig einem Vertex zugewiesen werden. Offensichtlich haben wir wieder doppelt so viele Halbkanten wie Kanten.
+Auch diese Aussage lässt sich leicht zeigen. Dieses mal teilen wir jede Kante in der Mitte zwischen den Vertices und erhalten wieder zwei Halbkanten. Jede Halbkante kann eindeutig einem Vertex zugewiesen werden. Offensichtlich haben wir wieder doppelt so viele Halbkanten wie Kanten.
 : <tt>2*E = HE</tt>
 Zusammen mit der oben gezeigten Aussage <tt>2*E = 3*F</tt> setzen wir dies nun nacheinander in die vereinfachte Euler-Formel ein:

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 : <tt><=> V - (1/6)*HE {{ASYMP}} 0</tt>
 : <tt><=> 6*V {{ASYMP}} HE</tt>
-Jeder Vertex ist also adjazent zu ungefähr 6 Kanten.
+Jeder Vertex ist also adjazent zu durchschnittlich ungefähr 6 Kanten.
 ===Vertices vs. Kanten===
 Aus der Valenz-Abschätzung können wir auch eine Relation zwischen Vertices und Kanten herstellen. Es gilt <tt>2*E = HE</tt> und <tt>6*V {{ASYMP}} HE</tt>, also gilt insgesamt <tt>3*V {{ASYMP}} E</tt>. In einem ''geschlossenen'' und ''2-mannigfaltigen'' Dreiecks-Mesh mit vernachlässigbarem Genus gibt es also ungefähr dreimal so viele Kanten wie Vertices.

← Nächstältere Version		Version vom 4. April 2009, 14:10 Uhr
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	===Vertices vs. Kanten===		===Vertices vs. Kanten===
−	Aus der Valenz-Abschätzung können wir auch eine Relation zwischen Vertices und Kanten herstellen. Es gilt <tt>2E = HE</tt> und <tt>6V {{ASYMP}} HE</tt>, also gilt insgesamt <tt>3*V {{ASYMP}} E</tt> ~~bzw~~. ungefähr dreimal so viele Kanten wie Vertices.	+	Aus der Valenz-Abschätzung können wir auch eine Relation zwischen Vertices und Kanten herstellen. Es gilt <tt>2E = HE</tt> und <tt>6V {{ASYMP}} HE</tt>, also gilt insgesamt <tt>3*V {{ASYMP}} E</tt>. In einem ''geschlossenen'' und ''2-mannigfaltigen'' Dreiecks-Mesh mit vernachlässigbarem Genus gibt es also ungefähr dreimal so viele Kanten wie Vertices.

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 : <tt>2*E = HE</tt>
 Zusammen mit der oben gezeigten Aussage <tt>2*E = 3*F</tt> setzen wir dies nun nacheinander in die vereinfachte Euler-Formel ein:
-: <tt>V - E + F = 0</tt>
+: <tt>V - E + F {{ASYMP}} 0</tt>
-: <tt><=> V - E + (2/3)*E = 0</tt>
+: <tt><=> V - E + (2/3)*E {{ASYMP}} 0</tt>
-: <tt><=> V - (1/3)*E = 0</tt>
+: <tt><=> V - (1/3)*E {{ASYMP}} 0</tt>
-: <tt><=> V - (1/6)*HE = 0</tt>
+: <tt><=> V - (1/6)*HE {{ASYMP}} 0</tt>
-: <tt><=> 6*V = HE</tt>
+: <tt><=> 6*V {{ASYMP}} HE</tt>
-Jeder Vertex ist also adjazent zu 6 Kanten.
+Jeder Vertex ist also adjazent zu ungefähr 6 Kanten.
 ===Vertices vs. Kanten===
-Aus der Valenz-Abschätzung können wir auch eine Relation zwischen Vertices und Kanten herstellen. Es gilt <tt>2*E = HE</tt> und <tt>6*V = HE</tt>, also gilt insgesamt <tt>3*V = E</tt> bzw. dreimal so viele Kanten wie Vertices.
+Aus der Valenz-Abschätzung können wir auch eine Relation zwischen Vertices und Kanten herstellen. Es gilt <tt>2*E = HE</tt> und <tt>6*V {{ASYMP}} HE</tt>, also gilt insgesamt <tt>3*V {{ASYMP}} E</tt> bzw. ungefähr dreimal so viele Kanten wie Vertices.

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 Für ''geschlossene'' und ''2-mannigfaltige'' Meshes gilt die Euler-Formel:
 : <tt>V - E + F = 2(1-g)</tt>
-Die Variablen {{INLINE_CODE|V}}, {{INLINE_CODE|E}} und {{INLINE_CODE|F}} stehen dabei für die Anzahl der Vertices, Kanten (Edges) und Faces. Die Variable {{INLINE_CODE|g}} steht für den Genus des Objektes. Intuitiv ist der Genus eines Meshes die Anzahl der "Griffe". (Ein Bild wäre wohl hilfreich, das kommt noch)
+Die Variablen {{INLINE_CODE|V}}, {{INLINE_CODE|E}} und {{INLINE_CODE|F}} stehen dabei für die Anzahl der Vertices, Kanten (Edges) und Faces. Die Variable {{INLINE_CODE|g}} steht für den Genus des Objektes. Intuitiv ist der Genus eines Meshes die Anzahl der "Griffe". Ein Bild erklärt dies wohl am besten.<br>
+[[Bild:mesh-genus.jpg]]<br>
-Sofern das Mesh nicht ''geschlossen'' ist, rechnet man einfach mit einem zusätzlichen Face, welches das Mesh schließt.
+Ein doppelter Torus, also mit zwei Löchern, hätte dann den Genus Zwei. Sofern das Mesh nicht ''geschlossen'' ist, rechnet man einfach mit zusätzlichen Faces, welches das Mesh schließen. Aus diesem Grund ist der Genus der Röhre im obigen Bild auch Null. An jedem Ende der Röhre wird je ein Face benötigt welches die offenen Kanten abschließt.