Matrix - Versionsgeschichte

Mathias: /* Siehe auch */

2018-07-05T21:08:18Z

‎Siehe auch

Mathias: /* Siehe auch */

2018-07-05T21:07:21Z

‎Siehe auch

Mathias: /* Siehe auch */

2018-07-05T21:06:31Z

‎Siehe auch

Mathias: /* Aufbau einer OpenGL-Matrix */

2018-06-22T16:32:12Z

‎Aufbau einer OpenGL-Matrix

Mathias: /* Aufbau einer OpenGL-Matrix */

2018-04-28T18:57:36Z

‎Aufbau einer OpenGL-Matrix

Openglerf: Ausserdem -> Außerdem

2012-03-21T14:42:54Z

Ausserdem -> Außerdem

Openglerf: Daß -> Dass

2012-03-18T15:57:22Z

Daß -> Dass

Thoronador: Links

2011-01-22T18:58:15Z

Links

Global667: /* Eigenschaften */

2009-08-06T03:59:35Z

‎Eigenschaften

Global667: /* Rn Vektorräume */

2009-08-06T03:46:27Z

‎Rn Vektorräume

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 ===Siehe auch===
-* [[glMatrixMode]], [[glGet]], [[glLoadIdentity]], [[glLoadMatrix]], [[glTranslate]], [[glRotate]], [[glScale]], [[Quaternion|Quaternionen]]<br>
+* [[glMatrixMode]], [[glGet]], [[glLoadIdentity]], [[glLoadMatrix]], [[glTranslate]], [[glRotate]], [[glScale]],
 * [[Matrixmultiplikation|Matrix/Vektor-Multiplikationen]] - Auch SSE-beschleunigt.

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 ===Siehe auch===
-[[glMatrixMode]], [[glGet]], [[glLoadIdentity]], [[glLoadMatrix]], [[glTranslate]], [[glRotate]], [[glScale]], [[Quaternion|Quaternionen]]<br>
+* [[glMatrixMode]], [[glGet]], [[glLoadIdentity]], [[glLoadMatrix]], [[glTranslate]], [[glRotate]], [[glScale]], [[Quaternion|Quaternionen]]<br>
-[[Matrixmultiplikation|Matrix/Vektor-Multiplikationen]]
+* [[Matrixmultiplikation|Matrix/Vektor-Multiplikationen]] - Auch SSE-beschleunigt.
 ===Links===
 *[[Tutorial_Nachsitzen|Tutorial: Nachsitzen]]
 *[http://www-user.tu-chemnitz.de/~pester/Lehre/CompGeo.pdf Recht umfangreiches, gut verständliches Script zum Thema "Computer Geometrie" (PDF)]

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 ===Siehe auch===
-[[glMatrixMode]], [[glGet]], [[glLoadIdentity]], [[glLoadMatrix]], [[glTranslate]], [[glRotate]], [[glScale]], [[Quaternion|Quaternionen]]
+[[glMatrixMode]], [[glGet]], [[glLoadIdentity]], [[glLoadMatrix]], [[glTranslate]], [[glRotate]], [[glScale]], [[Quaternion|Quaternionen]]<br>
 ===Links===
 *[[Tutorial_Nachsitzen|Tutorial: Nachsitzen]]
 *[http://www-user.tu-chemnitz.de/~pester/Lehre/CompGeo.pdf Recht umfangreiches, gut verständliches Script zum Thema "Computer Geometrie" (PDF)]

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      X, Y, Z, W: glFloat;
    end;
-   TMatrix = array[mat_XAchse, mat_YAchse, mat_ZAchse, mat_Position] of TVektor;
+   TMatrix = array[(mat_XAchse, mat_YAchse, mat_ZAchse, mat_Position)] of TVektor;
    PMatrix = ^TMatrix;
 </syntaxhighlight>

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 Folgendes Format könnte man nutzen, um eine Matrix mit [[glGetFloatv]] auszulesen oder mit [[glLoadMatrix]] zu setzen.
- TVektor = '''record''' X,Y,Z,W:glFloat '''end''';
+<syntaxhighlight lang="pascal">type
- TMatrix = '''array'''[(mat_XAchse,mat_YAchse,mat_ZAchse,mat_Position)]'''of''' TVektor;
+  TVektor = record
- PMatrix = ^TMatrix;
+    X, Y, Z, W: glFloat;
 Man beachte dabei, dass OpenGL Matrizen '''Spaltenweise''' im Speicher ablegt sind. Siehe dazu auch: [[glMultMatrix]]

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 [[Bild:Vektor__summe.png|center]]
-Ausserdem kann man sie mit einem Skalar c aus den reelen Zahlen zu einem Vektor x' strecken:
+Außerdem kann man sie mit einem Skalar c aus den reelen Zahlen zu einem Vektor x' strecken:
 [[Bild:Vektor__skalar.png|center]]

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 Eine Matrix ist im wesentlichen nichts anderes als das, was man in der Programmierung als zweidimensionales Array kennt. Dabei beschreibt eine Matrix eine [http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Abbildung lineare Abbildung], was als Information bei Rechnungen sehr wichtig ist.
-'''Wichtig:''' Für den Einstieg in OpenGl ist ein tiefergehendes Verständnis von Matrizen noch nicht notwendig um bereits interessante Ergebnisse zu erzielen. Es genügt am Anfang zu wissen, daß man damit Verscheibungen, Drehungen und Streckungen beschreiben kann und daß die Reihenfolge der Befehle zum Manipulieren der Matrix wichtig ist. Wer also noch seine ersten Erfahrungen mit OpenGl macht, kann sich zuerst in unseren [[Tutorial|Tutorials]] informieren und erst anschließend hier wieder vorbeischauen.
+'''Wichtig:''' Für den Einstieg in OpenGl ist ein tiefergehendes Verständnis von Matrizen noch nicht notwendig um bereits interessante Ergebnisse zu erzielen. Es genügt am Anfang zu wissen, dass man damit Verscheibungen, Drehungen und Streckungen beschreiben kann und dass die Reihenfolge der Befehle zum Manipulieren der Matrix wichtig ist. Wer also noch seine ersten Erfahrungen mit OpenGl macht, kann sich zuerst in unseren [[Tutorial|Tutorials]] informieren und erst anschließend hier wieder vorbeischauen.
 '''Anmerkung:''' Wir wollen mit den Definitionen hier nur soweit gehen, wie es für ein Verständnis von OpenGl Geometrie wichtig ist. In der Linearen Algebra werden einige der hier gegebenen Begriffe deutlich genauer und häufig auch abstrakter betrachtet. Dies würde jedoch unseren kleinen Rahmen deutlich sprengen.
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 [[Bild:Vektorkomponenten.png|center]]
-Häufig wird kein Unterschied dahingehend gemacht, ob der Vektor als Zeile oder als Spalte geschrieben wird. Bei der später definierten Matrixmultiplikation wird dies jedoch durchaus interessant, wir wollen uns also erstmal darauf beschränken, daß auch die Schreibweise
+Häufig wird kein Unterschied dahingehend gemacht, ob der Vektor als Zeile oder als Spalte geschrieben wird. Bei der später definierten Matrixmultiplikation wird dies jedoch durchaus interessant, wir wollen uns also erstmal darauf beschränken, dass auch die Schreibweise
 [[Bild:Vektortranspos.png|center]]
 für unseren Vektor v eine legitime, als Text einfacher verfassbare Schreibweise darstellt. Bei der später definierten Multiplikation mit einer Matrix der Vektor aber immer als Spalte betrachtet wird.
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 Es ergeben sich die von den normalen reelen Zahlen bekannten Rechenregeln:
 [[Bild:Vektorassoz.png|center]]
-D.h. man kann Skalare einfach aus Klammern ausmultiplizieren oder wieder hineinziehen. Man beachte aber, daß die Multiplikation von Vektoren mit Vektoren nicht definiert ist (Siehe auch [[Vektorprodukt]], [[Standard Skalarprodukt]]).
+D.h. man kann Skalare einfach aus Klammern ausmultiplizieren oder wieder hineinziehen. Man beachte aber, dass die Multiplikation von Vektoren mit Vektoren nicht definiert ist (Siehe auch [[Vektorprodukt]], [[Standard Skalarprodukt]]).
 Ist unser n gerade die Zahl 3 bzw. 2, so kann man durch den R<sup>n</sup> gerade den 3-Dimensionalen bzw. 2-Dimensionalen Anschauungsraum darstellen. Vektoren kann man dann sogar zeichnen und bekommt eine bildliche Vorstellung. Vektoren werden zu einer Darstellung von Pfeilen, die eine Richtung beschreiben oder ausgehend vom Nullpunkt des Koordinatensystems einen Punkt definieren:
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 ====Lineare Abbildungen auf dem R<sup>n</sup> in den R<sup>m</sup>====
-Weiter kann man Abbildungen f, die als Parameter Vektoren des R<sup>n</sup> annehmen und diese in den R<sup>m</sup> abbilden, definieren. Insbesondere kann man Abbildungen definieren, die linear sind, d.h. daß f folgende Eigenschaften erfüllt:
+Weiter kann man Abbildungen f, die als Parameter Vektoren des R<sup>n</sup> annehmen und diese in den R<sup>m</sup> abbilden, definieren. Insbesondere kann man Abbildungen definieren, die linear sind, d.h. dass f folgende Eigenschaften erfüllt:
 [[Bild:Lineare Abbildungen.png|center]]
-und zwar für alle a,b aus R<sup>n</sup> und alle &lambda; aus den reellen Zahlen R. Interessant ist, daß solche Abbildungen die Rechenregeln aus unserer Vektorraumdefinition erhalten. Sehr wichtig ist jedoch: Solche Abbildungen existieren. Die einfachste ist die, die alle Vektoren aus R<sup>n</sup>
+und zwar für alle a,b aus R<sup>n</sup> und alle &lambda; aus den reellen Zahlen R. Interessant ist, dass solche Abbildungen die Rechenregeln aus unserer Vektorraumdefinition erhalten. Sehr wichtig ist jedoch: Solche Abbildungen existieren. Die einfachste ist die, die alle Vektoren aus R<sup>n</sup>
 auf die 0 abbildet ( die 0 ist der Vektor des R<sup>m</sup>, in dem alle Komponenten gleich 0 ist. ). Tatsächlich gibt es deutlich mehr dieser Abbildungen und alle lassen sich als Matrizen darstellen. Und umgekehrt: Mit Matrizen lassen sich alle lineare Abbildungen auf unseren Vektorräumen beschreiben.
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 * Versteht man die Matrizen A,B als lineare Abbildungen auf Vektoren x aus dem R<sup>n</sup> und y aus R<sup>r</sup>, also f(x) = A*x und g(y) = B*y und ist A eine mxn-Matrix, sowie B eine nxr Matrix, dann ist die Abbildung f(g(y)) eine Lineare Abbildung, die beschrieben ist durch
 [[Bild:MatrixMatrixMultiplikationLinear.png|center]]
-* Daraus ergibt sich, da schon die Definitions-Vektorräume verschieden sind, daß in den meisten Fällen '''nicht gilt''': '''A*B=B*A''' . Wer sich dies genauer überlegt, stellt fest, daß das 2. Produkt nur dann definiert ist, wenn A und B beides nxn-Matrizen sind. Aber selbst in diesem Fall ist es im Allgemeinen ein Unterschied, ob ich A*B oder B*A rechne (Das führt schließlich zu der Tatsache, dass man in OpenGL aufpassen muss, ob man zuerst rotiert und dann verschiebt (transliert) oder umgekehrt: Diese Operationen werden durch Matrizenmultiplikationen implementiert. Zu diesem Thema findet man am Ende des [[Tutorial_Matrix2]] einige Bilder.).
+* Daraus ergibt sich, da schon die Definitions-Vektorräume verschieden sind, dass in den meisten Fällen '''nicht gilt''': '''A*B=B*A''' . Wer sich dies genauer überlegt, stellt fest, dass das 2. Produkt nur dann definiert ist, wenn A und B beides nxn-Matrizen sind. Aber selbst in diesem Fall ist es im Allgemeinen ein Unterschied, ob ich A*B oder B*A rechne (Das führt schließlich zu der Tatsache, dass man in OpenGL aufpassen muss, ob man zuerst rotiert und dann verschiebt (transliert) oder umgekehrt: Diese Operationen werden durch Matrizenmultiplikationen implementiert. Zu diesem Thema findet man am Ende des [[Tutorial_Matrix2]] einige Bilder.).
 * Anderfalls gelten die Distributiv-, Assoziativ- und Kommutativgesetze:
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 | 0 || 0 || 0 || 1 || |
 |}
-Dann beschreibt die letzte Spalte der Matrix gerade die Verschiebung unseres Vertices, wie man mit der oben definierten Anwendung einer Matrix auf einen Vektor leicht überprüft. Am Ende wird die w-Koordinate, sofern sie 1 ist, wieder verworfen - was sie auch bleibt, denn die letzte Zeile der OpenGl Matrix ist gerade so gewählt, daß dies sichergestellt ist. Nur bei der endgültigen Darstellung auf den Monitor kommt der w-Koordinate noch eine weitere Bedeutung zu, weshalb Projektionsmatrizen ( erzeugt durch [[glOrtho]], [[glFrustum]], ... ) sich an Regel der letzten Zeile (0,0,0,1) nicht halten.
+Dann beschreibt die letzte Spalte der Matrix gerade die Verschiebung unseres Vertices, wie man mit der oben definierten Anwendung einer Matrix auf einen Vektor leicht überprüft. Am Ende wird die w-Koordinate, sofern sie 1 ist, wieder verworfen - was sie auch bleibt, denn die letzte Zeile der OpenGl Matrix ist gerade so gewählt, dass dies sichergestellt ist. Nur bei der endgültigen Darstellung auf den Monitor kommt der w-Koordinate noch eine weitere Bedeutung zu, weshalb Projektionsmatrizen ( erzeugt durch [[glOrtho]], [[glFrustum]], ... ) sich an Regel der letzten Zeile (0,0,0,1) nicht halten.
 Folgendes Format könnte man nutzen, um eine Matrix mit [[glGetFloatv]] auszulesen oder mit [[glLoadMatrix]] zu setzen.
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   PMatrix = ^TMatrix;
-Man beachte dabei, daß OpenGL Matrizen '''Spaltenweise''' im Speicher ablegt sind. Siehe dazu auch: [[glMultMatrix]]
+Man beachte dabei, dass OpenGL Matrizen '''Spaltenweise''' im Speicher ablegt sind. Siehe dazu auch: [[glMultMatrix]]
 <!--

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 Es gibt noch eine Menge weiterer Eigenschaften, und Funktionen, die in Bezug auf Matrizen höchst interessant sind:
-[[Matrix_Transposition]], [[Determinante]], [[Matrix_Inversion]], [[Gauss_Algorithmus]], [[Matrixmultiplikation|Matrizenmultiplikation]], [[Techniken zur Matrixinversion]]
+[[Matrixtransposition]], [[Determinante]], [[Techniken zur Matrixinversion|Matrixinversion]], [[Gauss-Algorithmus]], [[Matrixmultiplikation|Matrizenmultiplikation]]
 <!-- LaTeX-Quellcode
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 -->
-==Matrizen in OpenGl==
+==Matrizen in OpenGL==
 ===Die drei OpenGL Matrizen===
 In OpenGL gibt es drei 4x4-Matrizen welche alle mit Hilfe von [[glTranslate]], [[glScale]], [[glRotate]],[[glMultMatrix]],[[glLoadMatrix]] und [[glLoadIdentity]] bearbeitet werden können. Welche Matrix von diesen Funktionen beeinfusst wird, kann durch [[glMatrixMode]] gesteuert werden.

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 * Versteht man die Matrizen A,B als lineare Abbildungen auf Vektoren x aus dem R<sup>n</sup> und y aus R<sup>r</sup>, also f(x) = A*x und g(y) = B*y und ist A eine mxn-Matrix, sowie B eine nxr Matrix, dann ist die Abbildung f(g(y)) eine Lineare Abbildung, die beschrieben ist durch
 [[Bild:MatrixMatrixMultiplikationLinear.png|center]]
-* Daraus ergibt sich, da schon die Definitions-Vektorräume verschieden sind, daß in den meisten Fällen '''nicht gilt''': '''A*B=B*A''' . Wer sich dies genauer überlegt, stellt fest, daß das 2. Produkt nur dann definiert ist, wenn A und B beides nxn-Matrizen sind. Aber selbst in diesem Fall ist es im Allgemeinen ein Unterschied, ob ich A*B oder B*A rechne ( Das führt schließlich zu der Tatsache, warum man in OpenGl aufpassen muss, ob man zuerst rotiert und dann verschiebt oder umgekehrt: Diese Operationen werden durch Matrizenmultiplikationen implementiert!  Zu genau diesem Thema findet man am Ende des [[Tutorial_Matrix2]] einige Bilder.).
+* Daraus ergibt sich, da schon die Definitions-Vektorräume verschieden sind, daß in den meisten Fällen '''nicht gilt''': '''A*B=B*A''' . Wer sich dies genauer überlegt, stellt fest, daß das 2. Produkt nur dann definiert ist, wenn A und B beides nxn-Matrizen sind. Aber selbst in diesem Fall ist es im Allgemeinen ein Unterschied, ob ich A*B oder B*A rechne (Das führt schließlich zu der Tatsache, dass man in OpenGL aufpassen muss, ob man zuerst rotiert und dann verschiebt (transliert) oder umgekehrt: Diese Operationen werden durch Matrizenmultiplikationen implementiert. Zu diesem Thema findet man am Ende des [[Tutorial_Matrix2]] einige Bilder.).
-* Matrizen stellen Lineare Abbildungen dar, es gilt also:
+* Anderfalls gelten die Distributiv-, Assoziativ- und Kommutativgesetze:
 [[Bild:MatrixMatrixMultiplikationLinear2.png|center]]
-* Man nennt eine Gleichung A*x = b ein Lineares Gleichungssystem, wenn A und b bekannt und x gesucht ist. Es interessiert dann, ob es eine Lösung gibt und welche das ( sofern sie eindeutig ist ) ist.
+* Man nennt eine Gleichung A*x = b ein ''Lineares Gleichungssystem'', wenn A und b bekannt und x gesucht ist. Es interessiert dann, ob und - wenn ja - wie viele Lösungen es für x gibt.
 ===Siehe Auch===