Interpolation - Versionsgeschichte

Lyr: /* Normalvektoren */

2006-06-17T17:15:01Z

‎Normalvektoren

2006-06-17T17:07:30Z

‎Kurvenlängen-Interpolation: C -> Pascal wär wieder mal gefragt

2005-11-05T06:21:56Z

‎Cosinus Interpolation: Bildlein eingefügt

2005-11-05T05:11:56Z

2005-11-05T00:21:47Z

‎Rechenbeispiel: <br> raus :-)

2005-11-05T00:14:10Z

‎Hermite Kurven: Grafik eingefügt

2005-11-05T00:09:44Z

‎Rechenbeispiel: Grafik eingefügt

2005-11-05T00:03:47Z

‎Rechenbeispiel: Grafik eingefügt

2005-10-18T05:08:20Z

‎Kurven mit gegebenen Tangenten

2005-10-18T05:06:16Z

‎Kurven mit gegebenen Tangenten

@@ Zeile 270: / Zeile 270: @@
 ==Normalvektoren==
-Besitzt man Flächen und berechnet sie nach dem gegebenen Schema, so berechnet man sich zuerst auch mehrere Kurven von denen man die Tangenten berechnen kann. Interpoliert man nun diese Tangenten mit der gleichen Kurvenfunktion wie die resultierenden Punkte, und berechnet sich aus der resultierenden Kurvenfunktion ebenfalls die Tangente, so erhält man 2 Tangenten. Aus diesen beiden Tangenten kann nun mit einem Kreuzprodukt ein Normalvektor errechnet werden.<br>
+Besitzt man Flächen und berechnet sie nach dem gegebenen Schema, so berechnet man sich zuerst auch mehrere Kurven von denen man die Tangenten berechnen kann. Interpoliert man nun diese Tangenten mit der gleichen Kurvenfunktion wie die resultierenden Punkte, und berechnet sich aus der resultierenden Kurvenfunktion ebenfalls die Tangente, so erhält man 2 Tangenten. Aus diesen beiden Tangenten kann nun mit einem Kreuzprodukt ein Normalvektor errechnet werden.
 =Kurvenlängen-Interpolation=

@@ Zeile 225: / Zeile 225: @@
   Bei t im Bereich ]2|3] verwende als Startwert 7 und als Endwert 8
 Und wenn wir alle 3 Funktionen mit dem Wertebereich [0|1] verwenden (oder mathematisch ausgedrückt: I2(t) = I(t modulo 1) ), so erhalten wir eine Kurve ohne Kanten, oder um es etwas mathematischer auszudrücken: diese Funktion ist im Wertebereich ]0|3[ ableitbar, also in diesem Wertebereich auch stetig.
 === Quadratische Annäherung der Cosinus Interpolation ===

@@ Zeile 178: / Zeile 178: @@
   f'(t) = -6 * t^2 + 8 * t - t
 Da die Dimensionen einer derartigen Kurve wie gesagt unabhängig voneinander behandelt werden können, kann man dadurch die Tangente in der entsprechenden Dimension erhalten.
 =Interpolierte Flächen=

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 Das Ergebnis sieht nun folgendermaßen aus:
-[[Bild:InterpolationBsp1.png]]<br>
+[[Bild:InterpolationBsp1.png]]
 ''2 dimensionale Version des obigen Beispieles. Die gegebenen Punkte sind somit A(2|5) und B(4|1). Diese Punkte sind in rot dargestellt. Die Gerade beinhaltet alle Punkte für die gegebene Formel mit t im Wertebereich [0|1]''

@@ Zeile 165: / Zeile 165: @@
   f(t) = t^3 * (-2) + t^2 * 4 + t * (-1) + 2
 Da die Dimensionen hier ebenfalls unabhängig sind, können Hermit-Kurven auf beliebig viele Dimensionen erweitert werden.
 =Tangenten von Kurven=

@@ Zeile 108: / Zeile 108: @@
   Ix = -58.5 * t^3 + 90 * t^2 - 35.5 * t + 5
   Iy = 22.5 * t^3 - 36 * t^2 + 12.5 * t + 3
 =Kurven mit gegebenen Tangenten=

@@ Zeile 35: / Zeile 35: @@
 Somit erhalten wir die unsere Interpolationsgleichung:
   I(x|y|z) = t * (2|-4|8) + (2|5|0)
 == Polynome höheren Grades ==

@@ Zeile 116: / Zeile 116: @@
   F(J-1) bis F(0) ... der zu berechnende Faktor für die J-te Tangente
 Nun benötigen wir natürlich noch weitere Gleichungen für die Tangenten um das Gleichungssystem eindeutig lösbar zu machen. Eine Tangente K (hier wird bewusst K und nicht T gewählt) für den Xten Punkt lässt sich durch eine Ableitung nach t berechnen:
-  K(Px) = (n+J) * t(Px)^(n+J-1) * F(n+J) + (n+J-1) * t(Px)^(n+J-2) * F(n+J) + ... + (J+1) * t(Px)^(J) * F(J+1) + J * t(Px)^(J-1) * F(J) + (J-1) * t(Px)^(J-2) * F(J-1) + (J-2) * t(Px)^(J-3) * F(J-2) + ... + t(Px) * F2 + F1 + ( 0 * F0 )
+  K(Px) = (n+J) * t(Px)^(n+J-1) * F(n+J) + (n+J-1) * t(Px)^(n+J-2) * F(n+J-1) + ... + (J+1) * t(Px)^(J) * F(J+1) + J * t(Px)^(J-1) * F(J) + (J-1) * t(Px)^(J-2) * F(J-1) + (J-2) * t(Px)^(J-3) * F(J-2) + ... + t(Px) * F2 + F1 + ( 0 * F0 )
 Mit diesen Gleichungssystemen können wir wiederum eine Matrix formen, diese invertieren und los legen. Aber (meines Erachtens) erklärt sich dies am besten an einem Beispiel.