Geometrie durch Kurven - Versionsgeschichte

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‎Geometrie durch Kurven

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Nico Michaelis am 11. Oktober 2006 um 18:26 Uhr

2006-10-11T18:26:56Z

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== Geometrie durch Kurven ==
[[Bild:Torus_Knoten.jpg]]
Die Geometrie vieler Kurvenförmiger Objekte lässt sich leicht erzeugen, wenn man eine Kurve kennt, die an ihnen entlang führt. Man hat also Eine Funktion Phi entlang eines Intervalles I=[a,e] in den R^3:
Phi: I -> R^3
Ist ihre 1. und 2. Ableitung ungleich Null, so kann man sehr leicht ein Geometrisches Objekt erzeugen, denn d/dt Phi(t) ist senkrecht zu d^2/dt^2 Phi(t) und d/dt Phi(t) zeigt tangential zur Kurve. Mithilfe des Kreuzprodukt erhält man so ein begleitendes Dreibein.

int lengthsegments, int slicesegments;

private void ConstructCurve() {

Vertices = new Vertex[lengthsegments + 1, slicesegments + 1];
Normals = new Vertex[lengthsegments + 1, slicesegments + 1];

int i, j;
double t;
Vertex[] Basis = new Vertex[3];
Vertex v = new Vertex();

for (i = 0; i <= lengthsegments; i++)
{
t = ((e-a) / (double)lengthsegments) * (double)i + a;

v = Phi(t);

Basis[0] = (dPhi(t)/dt) //1. Ableitung
Basis[0] = Basis[0].Normalize();
Basis[1] = (d^2Phi(t)/dt^2) //2. Ableitung
Basis[1] = Basis[1].Normalize();

Basis[2] = Basis[0] % Basis[1]; //% ist das Kreuzprodukt
//Die Basis ist nun das Mitlaufende Dreibein des Knotens

for (j = 0; j <= slicesegments; j++)
{
double mu = 1.0/(double) slicesegments *2.0*Math.PI * j;
Normals[i,j] = Math.Sin(mu)*Basis[1] +
Math.Cos(mu)*Basis[2];
Vertices[i,j] = tuberadius * Normals[i,j] + v;
}
}
}

public override void RenderCurve()
{
int i, j;

for (i = 0; i < lengthsegments; i++)
{
gl.Begin(gl.TRIANGLE_STRIP);
for (j = 0; j <= slicesegments; j++) {
gl.Normal3d(Normals[i, j].x, Normals[i, j].y, Normals[i, j].z);
gl.Vertex3d(Vertices[i, j].x, Vertices[i, j].y, Vertices[i, j].z);

gl.Normal3d(Normals[i + 1, j].x, Normals[i + 1, j].y, Normals[i + 1, j].z);
gl.Vertex3d(Vertices[i + 1, j].x, Vertices[i + 1, j].y, Vertices[i + 1, j].z);
}
gl.End();
}
}

=== Beispiele ===
==== Torus ====
I := [0,2*Pi]
Phi(t) = (r*cos(t); r*sin(t); 0)
==== (p,q) Torus Knoten ====
I := [0,2*Pi]
p,q teilerfremd
Phi(t) = ((R + r * Math.Cos(p * t)) * Math.Cos(q * t);
(R + r * Math.Cos(p * t)) * Math.Sin(q * t);
r * Math.Sin(p*t))

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 Ist ihre 1. und 2. Ableitung ungleich Null, so kann man sehr leicht ein geometrisches Objekt erzeugen, denn d/dt &phi;(t) ist senkrecht zu d<sup>2</sup>/dt<sup>2</sup> &phi;(t) und d/dt &phi;(t) zeigt tangential zur Kurve. Mithilfe des [[Vektorprodukt|Kreuzprodukt]]s erhält man so ein begleitendes Dreibein.
   int lengthsegments, int slicesegments;
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+      }
+  }
   public override void RenderCurve()
+  {
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+      }
+  }
 === Beispiele ===

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 [[Bild:Torus_Knoten.jpg|center|Ein Torusknoten]]
-Die Geometrie vieler Kurvenförmiger Objekte lässt sich leicht erzeugen, wenn man eine Kurve kennt, die an ihnen entlang führt. Man hat also Eine Funktion &phi; entlang eines Intervalles I=[a,e] in den R<sup>3</sup>:
+Die Geometrie vieler kurvenförmiger Objekte lässt sich leicht erzeugen, wenn man eine Kurve kennt, die an ihnen entlang führt. Man hat also eine Funktion &phi; entlang eines Intervalles I=[a,e] in R<sup>3</sup>:
   &phi;: I -> R<sup>3</sup>
-Ist ihre 1. und 2. Ableitung ungleich Null, so kann man sehr leicht ein Geometrisches Objekt erzeugen, denn d/dt &phi;(t) ist senkrecht zu d<sup>2</sup>/dt<sup>2</sup> &phi;(t) und d/dt &phi;(t) zeigt tangential zur Kurve. Mithilfe des [[Vektorprodukt|Kreuzprodukt]] erhält man so ein begleitendes Dreibein.
+Ist ihre 1. und 2. Ableitung ungleich Null, so kann man sehr leicht ein geometrisches Objekt erzeugen, denn d/dt &phi;(t) ist senkrecht zu d<sup>2</sup>/dt<sup>2</sup> &phi;(t) und d/dt &phi;(t) zeigt tangential zur Kurve. Mithilfe des [[Vektorprodukt|Kreuzprodukt]]s erhält man so ein begleitendes Dreibein.
   int lengthsegments, int slicesegments;

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	(R + r * Math.Cos(p * t)) * Math.Sin(q * t);		(R + r * Math.Cos(p * t)) * Math.Sin(q * t);
	r * Math.Sin(p*t))		r * Math.Sin(p*t))
		+
		+	[[Kategorie:Technik_oder_Algorithmus]]

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 [[Bild:Torus_Knoten.jpg|center|Ein Torusknoten]]
-Die Geometrie vieler Kurvenförmiger Objekte lässt sich leicht erzeugen, wenn man eine Kurve kennt, die an ihnen entlang führt. Man hat also Eine Funktion Phi entlang eines Intervalles I=[a,e] in den R<sup>3</sup>:
+Die Geometrie vieler Kurvenförmiger Objekte lässt sich leicht erzeugen, wenn man eine Kurve kennt, die an ihnen entlang führt. Man hat also Eine Funktion &phi; entlang eines Intervalles I=[a,e] in den R<sup>3</sup>:
-  Phi: I -> R<sup>3</sup>
+  &phi;: I -> R<sup>3</sup>
-Ist ihre 1. und 2. Ableitung ungleich Null, so kann man sehr leicht ein Geometrisches Objekt erzeugen, denn d/dt Phi(t) ist senkrecht zu d<sup>2</sup>/dt<sup>2</sup> Phi(t) und d/dt Phi(t) zeigt tangential zur Kurve. Mithilfe des [[Vektorprodukt|Kreuzprodukt]] erhält man so ein begleitendes Dreibein.
+Ist ihre 1. und 2. Ableitung ungleich Null, so kann man sehr leicht ein Geometrisches Objekt erzeugen, denn d/dt &phi;(t) ist senkrecht zu d<sup>2</sup>/dt<sup>2</sup> &phi;(t) und d/dt &phi;(t) zeigt tangential zur Kurve. Mithilfe des [[Vektorprodukt|Kreuzprodukt]] erhält man so ein begleitendes Dreibein.
   int lengthsegments, int slicesegments;
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 === Beispiele ===
 ==== Torus ====
-  I := [0,2*Pi]
+  I := [0,2*&pi;]
-  Phi(t) = (r*cos(t); r*sin(t); 0)
+  &phi;(t) = (r*cos(t); r*sin(t); 0)
 ==== (p,q) Torus Knoten ====
 [[Bild:Torus_Knoten.jpg|thumb|right|100px|Ein Torusknoten]]
-  I := [0,2*Pi]
+  I := [0,2*&pi;]
   p,q teilerfremd
-  Phi(t) = ((R + r * Math.Cos(p * t)) * Math.Cos(q * t);
+  &phi;(t) = ((R + r * Math.Cos(p * t)) * Math.Cos(q * t);
             (R + r * Math.Cos(p * t)) * Math.Sin(q * t);
              r * Math.Sin(p*t))

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 [[Bild:Torus_Knoten.jpg|center|Ein Torusknoten]]
-Die Geometrie vieler Kurvenförmiger Objekte lässt sich leicht erzeugen, wenn man eine Kurve kennt, die an ihnen entlang führt. Man hat also Eine Funktion Phi entlang eines Intervalles I=[a,e] in den R^3:
+Die Geometrie vieler Kurvenförmiger Objekte lässt sich leicht erzeugen, wenn man eine Kurve kennt, die an ihnen entlang führt. Man hat also Eine Funktion Phi entlang eines Intervalles I=[a,e] in den R<sup>3</sup>:
-  Phi: I -> R^3
+  Phi: I -> R<sup>3</sup>
-Ist ihre 1. und 2. Ableitung ungleich Null, so kann man sehr leicht ein Geometrisches Objekt erzeugen, denn d/dt Phi(t) ist senkrecht zu d^2/dt^2 Phi(t) und d/dt Phi(t) zeigt tangential zur Kurve. Mithilfe des Kreuzprodukt erhält man so ein begleitendes Dreibein.
+Ist ihre 1. und 2. Ableitung ungleich Null, so kann man sehr leicht ein Geometrisches Objekt erzeugen, denn d/dt Phi(t) ist senkrecht zu d<sup>2</sup>/dt<sup>2</sup> Phi(t) und d/dt Phi(t) zeigt tangential zur Kurve. Mithilfe des [[Vektorprodukt|Kreuzprodukt]] erhält man so ein begleitendes Dreibein.
   int lengthsegments, int slicesegments;

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   int lengthsegments, int slicesegments;
-−
   private void ConstructCurve() {
-−
       Vertices = new Vertex[lengthsegments + 1, slicesegments + 1];
       Normals = new Vertex[lengthsegments + 1, slicesegments + 1];
-−
       int i, j;
       double t;
       Vertex[] Basis = new Vertex[3];
       Vertex v = new Vertex();
-−
       for (i = 0; i <= lengthsegments; i++)
+      {
           t = ((e-a) / (double)lengthsegments) * (double)i + a;
-−
           v = Phi(t);
-−
           Basis[0] = (dPhi(t)/dt) //1. Ableitung
           Basis[0] = Basis[0].Normalize();
           Basis[1] = (d^2Phi(t)/dt^2) //2. Ableitung
           Basis[1] = Basis[1].Normalize();
-−
           Basis[2] = Basis[0] % Basis[1]; //% ist das Kreuzprodukt
           //Die Basis ist nun das Mitlaufende Dreibein des Knotens
-−
           for (j = 0; j <= slicesegments; j++)
+          {
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+  {
       int i, j;
-−
       for (i = 0; i < lengthsegments; i++)
+      {
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               gl.Normal3d(Normals[i, j].x, Normals[i, j].y, Normals[i, j].z);
               gl.Vertex3d(Vertices[i, j].x, Vertices[i, j].y, Vertices[i, j].z);
-−
               gl.Normal3d(Normals[i + 1, j].x, Normals[i + 1, j].y, Normals[i + 1, j].z);
               gl.Vertex3d(Vertices[i + 1, j].x, Vertices[i + 1, j].y, Vertices[i + 1, j].z);

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 == Geometrie durch Kurven ==
-[[Bild:Torus_Knoten.jpg]]
+[[Bild:Torus_Knoten.jpg|center]]
 Die Geometrie vieler Kurvenförmiger Objekte lässt sich leicht erzeugen, wenn man eine Kurve kennt, die an ihnen entlang führt. Man hat also Eine Funktion Phi entlang eines Intervalles I=[a,e] in den R^3:
   Phi: I -> R^3